Llocs geomètrics

Concepte

Podem dir que un lloc geomètric és un conjunt de punts que compleixen una determinada propietat o condició. Per exemple, donat un punt C(a,b) i una distància r, quin és el lloc geomètric dels punts del pla que compleixen la condició que estan a distància r de C? Si ho heu pensat una mica us haureu adonat que aquest lloc geomètric és una circumferència de centre C i radi r. Aquesta condició també la podem expressar de forma algabraica. El lloc geomètric és el conjunt de punt P(x,y) que compleixen: d(C,P) = r  on C(a,b) i P(x,y)  Anem a fer-ho en el cas concret de C(2,3) i r=4. Introduïu a la línia d'entrada: (x-2)^2+(y-3)^2 = 16. Observareu que ha sortit representada una circumferència de centre C(2,3) i radi r=4.

El traç i el color dinàmic

Per representar un lloc geomètric amb GeoGebra podem introduir l'expressió algebraica a la línia d'entrada, però també tenim altres formes de fer-ho, com podeu veure a les dues construccions següents. A la primera, el traç ens deixa dibuixat el lloc geomètric, a la segona el lloc geomètric surt dibuixat d'un color diferent, el color del punt varia segon si les seves coordenades compleixen la condició o no (és el que anomenem color dinàmic)
Dibuixeu un punt C. Després, seleccioneu l'eina Segment de longitud donada (la trobareu en el tercer grup d'eines). Clique sobre el punt C i escriviu 3 quan us demani la longitud. Cliqueu amb el botó dret sobre el nou punt creat i Activeu el traç. Amb l'eina Mou, moveu aquest punt. (Si voleu podeu canviar de color i amb CTRL+F podreu esborrar el traç). Heu marcat el lloc geomètric del punts del pla que estan a una distància 3 del punt C
Dibuixeu el punt C, si no el teniu dibuixat. Dibuixeu un punt P. A la línia d'Entrada escriviu: r=3 lloc=Si(abs(Distancia(C,P)-r)<0.05,1,0) Amb el botó dret accediu a les propietats d'aquest punt, seleccioneu la pestanya Avançat i on posa Verd poseu lloc, a la pestanya Estil modifiqueu la mida del punt per fer-lo el més petit possible i a la pestanya Bàsic activeu el traç. Moveu el punt P i veureu que deixarà un traç de color verd quan el punt estigui a distància 3 (amb un error de 0.05).

Tasca 1

Donat un segment AB, quin és el lloc geomètric dels punts que estan a la mateixa distància d'A(2,3) i B(5,7)? Si ho intentem resoldre algebraicament: d(P,A) = d(P,B) Això és una recta!
Representa els punts A(2,3) i B(5,7). Construeix el segment AB. A la finestra CAS escriu: 1.- P:=(x,y) 2.- Distància(P,A)=Distància(P,B) 3.- Resol($2,y) Què hi observes? Representa la recta que hem trobat 6x+8y-61=0. Quines característiques té? Saps com s'anomena? Hi ha una eina que ens permet construir aquest lloc geomètric. Quina és? Utilitza-la per representar la recta. Mou els punt A i B, què hi observes?

Tasca 2

Donades dues rectes r i s, una que passi pels punts A(1,3) i B(3,0), i l'altra que passi pels punts C(-1,1) i D(2,4). Investiga quin és el lloc geomètric dels punts que estan a la mateixa distància de les dues rectes.