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TP : Etude d'une distance minimale

Roméo (en C) veut aller voir Juliette (en D) mais doit passer par le bord de la rivière (AB) pour y cueillir des fleurs. Sur la figure schématisée ci-contre, [AB] est un segment de longueur 8 km, [AC] et [BD] sont des segments perpendiculaires à [AB] et de longueurs respectives 4 km et 6 km. M est un point de [AB].

1) Déplacer le point M et conjecturer la position de M pour laquelle la longueur CM + MD est la plus courte.

Conjecture : Quelle position du point M donne la longueur CM+MD la plus courte ?

2) On note x la longueur AM. a) A quel intervalle appartient x ?

b) Exprimer en fonction de x la longueur CM et la longueur DM.



c) Exprimer en fonction de la longueur AM = x la longueur CM + MD notée f(x) puis faire tracer sa représentation graphique ci-dessous. On notera sqrt() la racine carrée.

Représentation graphique de la fonction f :

d) Conjecturer les variations de la fonction f .

3) Placer le symétrique E du point D par rapport à (AB). En considérant la longueur CM + ME, démontrez votre conjecture de la question 1).