Media geométrica
Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Inclinando la botella de Piaget con GeoGebra Discovery.
Antes de considerar los tres casos que faltan, recordaremos aquí un modo rápido y sencillo de construir la media geométrica de dos longitudes, pues la necesitaremos usar con frecuencia.
Dadas dos longitudes, a y b, queremos hallar su media geométrica c, es decir, la longitud c tal que:
Observemos que hallar la media geométrica soluciona el problema de "cuadrar un rectángulo", es decir, hallar el lado (c) del cuadrado de igual área que un rectángulo dado (de dimensiones a y b). Para construir la media geométrica de a y b primero construimos un triángulo rectángulo de hipotenusa a+b. Después, basta aplicar a este triángulo rectángulo el teorema de la altura: En todo triángulo rectángulo la altura (c) sobre la hipotenusa es igual a la media geométrica entre las proyecciones ortogonales (a y b) de los catetos en la hipotenusa. La demostración de este resultado es muy sencilla: la altura c divide al triángulo rectángulo en otros dos triángulos rectángulos semejantes. Por lo tanto:■
Nota: El recíproco del teorema de la altura, esto es, que si se verifica esta relación entonces el triángulo ABC ha de ser rectángulo, solo es cierto si únicamente consideramos los casos en los que C' cae en el interior del segmento AB. Ver el Anexo para más detalles.