Modulo
Mudulo
Insbesondere in der Kryptologie spielt die Modulorechnung eine wichtige Rolle. Es gibt kaum eine Verschlüsselung in der sie nicht vorkommt, aber was genau ist das denn jetzt?
Kurz gesagt ist Modulo "Restrechnen". Am einfachsten ist sie anhand von Beispielen zu erklären.
9/3=3 0 Rest 9mod3=0
10/3=3 1 Rest 10mod3=1
5/3=1 2 Rest 5mod3=2
27/4=6 3 Rest 27mod4=3
Modulo gibt uns also den Rest einer Division.
Die einzelnen Teile sind auch gleich benannt wie bei der Division, also:
Dividend mod Divisor = Rest
An der untenstehenden Modulouhr kannst du Zahlen von 1 bis 100 modulo 1 bis 30 rechnen.
Aufgaben
Was geben die 'vollständigen Kreise' im Applet an?
was ergibt 235mod31?
Substitution und Modulo
Jetzt da wir die Modulorechnung kennen lässt sich die Substitution wesentlich leichter mathematisch darstellen.
1. Wir wandeln alle Buchstaben im Klartext in Ziffern um.
A=0
B=1
...
Z=25
Klartext 'HALLO' wäre also '8 0 11 11 14 14'
2. Wir wählen einen Schlüssel
in diesem Beispiel 15
3. Wir addieren den Schlüssel auf die jeweiligen Zahlen im Text und nehmen das Ergebnis modulo 26
(8+15) mod26=23
(0+15) mod 26=15
(11+15) mod 26=0
(14+15) mod 26=3
Der Geheimtext ist also 23 15 0 0 3
Wieder in Buchstaben übersetzt heißt das XPAAC
Das mag auf den ersten Blick umständlich erscheinen, ist aber insofern praktisch als dass die obigen Schritte von einem Computer gelöst werden können. Wir können also einfach einen Klartext eingeben den eine Maschine automatisch übersetzt.
Bei einfachen Verschlüsselungen wie der Caesar-Chiffre ist das nicht extrem wichtig, aber komplexere Verschlüsselungen sind von Hand extrem zeitaufwändig bis unmöglich durchzuführen.
Wie würdest du das Entschlüsseln eines so verschlüsselten Textes mathematisch aufschreiben? (nimm an der Schlüssel ist bekannt)