Der Kreis und der Abstand zu zwei Punkten
Problemstellung
Es ist bekannt, dass die Ellipse die Menge aller Punkte P in der Ebene ist, für die die Summe ihrer Abstände von zwei gegebenen Punkten F1 und F2 konstant ist. Ebenso ist die Hyperbel die Menge aller Punkte P in der Ebene, für die die Differenz ihrer Abstände von zwei gegebenen Punkten F1 und F2 konstant ist.
Und die Menge aller Punkte P in der Ebene, für die das Produkt ihrer Abstände von zwei gegebenen Punkten F1 und F2 konstant ist, ist die Cassini-Kurve.
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Wir suchen nun aber die Menge aller Punkte P in der Ebene, für die der Quotient ihrer Abstände von zwei gegebenen Punkten F1 und F2 konstant ist.
Wenn man mit s1 und mit s2 bezeichnet, kann man diese Gleichung auch schreiben als
.
Mit , und folgt
Das Ergänzen auf ein vollständiges Quadrat ergibt
Das ist die Gleichung eines Kreises mit Mittelpunkt und Radius . Der Kreis ist die Menge aller Punkte P in der Ebene, für die der Quotient ihrer Abstände von zwei gegebenen Punkten F1 und F2 konstant ist.
Aufgabe
Bewege den Punkt P auf dem Kreis und beobachte das Verhältnis . Verändere mit dem Schieberegler den Wert für k.