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喫煙レモンの理論

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これは、山形浩生氏がブログ記事「喫煙レモンの理論」(http://d.hatena.ne.jp/wlj-Friday/20140620/1403251945)で書いたモデルを視覚化したもので、規制がさらなる規制を呼ぶという悪循環をモデル化したものです。 ・モデル このモデルの前提は以下の通りです。
  • 一定の面積の土地に一定の人数の人が住んでいる。
  • その中には、決まった割合の喫煙者がいる。
  • その土地は、フリースペースと嫌煙スペースに分かれている。
  • フリースペースは喫煙してよい場所、嫌煙スペースは喫煙が禁止された場所である。
  • フリースペースの喫煙を許容できない人が増えると、嫌煙スペースが広くなる。
  • 喫煙に対する許容度は人によって異なる。
  • 許容度は、単位面積当たりの喫煙者密度について正規分布する。
このようなモデルでは、以下のような循環が起こる可能性がある、というのが山形氏の主張です。
  1. 喫煙に対する許容度の低い人の要望によって嫌煙スペースが増える。
  2. その分フリースペースが減る。
  3. フリースペースの喫煙者密度が上昇する。
  4. これまでフリースペースの喫煙を許容していた人も許容できなくなる。
  5. その要望によってさらに嫌煙スペースが増える。
  6. その分さらにフリースペースが減る。
  7. フリースペースの喫煙者密度がさらに上昇する。
  8. 以下フリースペースがなくなるまで同じことが繰り返される。
(これはあくまで教材作者による解釈です。教材作者が山形氏の記事を読み違えている可能性もあるので、詳細は元記事を参照してください。) このような悪循環がどのような条件で起こりうるかを、インタラクティブにテストするために作られたのがこの教材です。教材の使い方は以下の通りです。 ・上のグラフの青色の線
  • この曲線は、喫煙者密度に対する許容度の分布を示しています。
  • この分布は正規分布であると仮定されていますが、ここでは問題の本質をわかりやすくするため、変数を変換し、横軸に許容できない人の比率、縦軸に許容できない喫煙者密度をとっています。これは数学的に言うと、正規分布の累積分布関数の逆関数であり、分位点関数、プロビット関数、確率表現関数などと呼ばれます。これは表現形式だけの問題で、表現している分布は同じものです。
  • この分布は、許容喫煙密度の平均値と標準偏差という2つのパラメータによって決まります。
  • この2つのパラメータを表しているのがグラフ左上の青色のスライダーです。
  • このスライダーをマウスで左右にドラッグすると、曲線の形状をリアルタイムで変更することができます。
・上のグラフの赤色の線
  • この曲線は、フリースペースの喫煙を許容できない人の比率と、その比率によって決まるフリースペースの喫煙者密度の関係を表しています。
  • この曲線の形状は、下のグラフの2つのスライダーや5つの点をドラッグすることにより、リアルタイムで変更できます。詳細は下記の「下のグラフ」を参照してください。
・上のグラフの緑色の矢印
  • この矢印は、悪循環の起こる動的な過程を表現しています。
  • 悪循環は、フリースペースの喫煙者密度が、許容喫煙密度より高いときに起こります。言い換えれば、赤色の曲線の高さが青色の曲線より上にあるときに起こります。
  • 赤色の曲線の横軸ゼロの位置での縦軸の高さは、嫌煙スペースのない状態でのフリースペースの喫煙者密度を表しています。
  • この高さが青色の曲線(許容喫煙密度)と交わる点の横軸の位置が、その喫煙者密度を許容できない人の比率を表します。
  • これを示したのが「許容できない人」というラベルのついた緑色の矢印です。この許容できない人の比率によって、嫌煙スペースの割り当て比率が決まり、それによって、フリースペースの喫煙者密度が決まります。
  • この新たに決まる喫煙者密度は、その位置の赤色の曲線の縦軸の高さによって求められます。これを示したのが「嫌煙スペースを増やす」というラベルのついた緑色の矢印です。
  • 以下、同じ過程が繰り返されます。
  • この過程は、赤色の曲線と青色の曲線が交わる位置まで続きます。
  • したがって、赤青両曲線の交点がこの過程の均衡点です。交点がなければ、この過程はフリースペースがゼロになるまで続きます。
・下のグラフ
  • 赤色の曲線は、フリースペースの喫煙の許容できない人の比率と、その要望によって割り当てられる嫌煙スペースの比率との関係を表したものです。
  • この曲線の形状は、P1、P2、P3、P4、P5 の5つの点をマウスでドラッグすることにより、リアルタイムで変更することができます。
  • このグラフ左上の赤いスライダーは、それぞれ、土地全体の平均人口密度と喫煙者比率を表しています。
  • この2つの値と、赤い曲線によって表される嫌煙スペースの比率によって、フリースペースの喫煙者密度が決まります。
  • それをプロットしたのが、上のグラフ内の赤色の曲線です。
  • この曲線の形状は、下のグラフの2つのスライダーや5つの点をドラッグすることにより、リアルタイムで変更できます。
スライダーや点をドラッグしてパラメータを操作し、曲線の形状をリアルタイムで変更して、どのような条件で悪循環が起こりうるのかを調べてみましょう。 ・計算方法 実際の計算方法は以下の通りです。計算の細部に興味がある方はご覧下さい。アプレット自体をダウンロードして直接実装を調べてみるのもよい方法だと思います。 ・許容喫煙密度の分布 許容喫煙密度関数は、上で書いたとおり、正規分布の累積密度関数の逆関数であり、許容喫煙密度の平均値、許容喫煙密度の標準偏差から、次の式によって求めています: ただし、 は誤差関数 の逆関数であり、以下の級数展開を使って求めています: (級数展開の性質上、誤差が発生する可能性があります。ご了承下さい。) ・嫌煙スペース比率 嫌煙スペースの比率 は、5点 P1~P5 の多項式補間によって求めています。多項式補間の方法は、GeoGebra の Polynomial コマンドの実装に依存します。おそらくラグランジュ補間だと思われます。 ・フリースペースの喫煙者密度 フリースペースの喫煙者密度は、嫌煙スペースの比率 、平均人口密度、喫煙者比率から、次の式によって求めています: