Halbkreis, halber Kreisumfang als Strecke gegeben
- Autor:
- Petrus3743
Die Näherungskonstruktion (auch mit Zirkel und Lineal darstellbar) zeigt wie ein Kreisbogen (Halbkreis) ermittelt wird, dessen Länge nahezu gleich einer gegebenen Strecke ist.
Sie kann auch als Basis für die "Quadratur des Kreises" verwendet werden.
Wegen der besseren Übersichtlichkeit wurde der Halbkreis gewählt. Es ist mit dem vorgestellten Konstruktionsprinzip und mit ein paar ergänzenden Schritten auch ein Kreis möglich, dessen Umfang nahezu gleich einer gegebenen Strecke ist.
Hypothese:
Eine exakte geometrische Lösung mit Zirkel, Lineal und als zusätzliches Hilfsmittel Kurven ( z. B. Quadratrix des Hippias, archimedischen Spirale, etc.) ist nicht möglich.
NACHTRAG: Siehe unten STAND vom 26.03.2014
Gesucht:
Beweis oder ein Gegenbeweis (exakte Lösung) der Hypothese.
Z. B. führt folgender, meist angewandte Ansatz, zu keiner Lösung: Quadratrix des Hippias
NACHTRAG: Siehe unten STAND vom 26.03.2014
Begründung (siehe auch "Ausschnitt stark vergrößert"):
Die Quadratrix des Hippias kann den Fußpunkt auf der x-Achse (im Beispiel Punkt Z) nicht exakt bestimmen, denn auf der x-Achse kann die Winkelhalbierende mit der Streckenhalbierenden keinen Schnittpunkt bilden.
NACHTRAG: Siehe unten STAND vom 26.03.2014
Konstruktionsschritte:
1 Strecke festlegen und halbieren ergibt .
2 Strecke halbieren ergibt Punkt G.
3 Kreis um durch G.
4 Senkrechte Strecke auf .
5 Auf Streckenhalbierende … .
6 Bogen halbieren ergibt Punkt J.
7 Winkelhalbierende … .
8 Strahl ab durch schneidet horizontalen Strahl in Sp.
9 Kleiner Kreisbogen mit = .
10 Radius halbieren ergibt .
11 Kreisbogen ab bis ergibt O.
12 Parallele zu durch ergibt .
13 Abstand auf übertragen ergibt Q.
14 Punkt Q gespiegelt an y-Achse ergibt .
15 Kleiner Kreisbogen mit = .
16 Radius halbieren ergibt .
17 Kreisbogen ab bis ergibt V.
18 Abstand auf übertragen ergibt W
19 Kreisbogen um von W bis Z ergibt den gesuchten Halbkreis.
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STAND 26.03.2014: kmhkmh hat eine Lösung gefunden, mit der bei der Quadratrix des Hippias der Fußpunkt (x = 0) bestimmt wird! Zu sehen in http://www.geogebratube.org/material/show/id/99707