Integrale definito: costruzione e definizione
PROCEDURA
Data una funzione continua nell'intervallo .
- Si suddivide l'intervallo in n intervalli uguali , con e , di ampiezza .
- Visto che la funzione è continua in , lo sarà anche negli n sotto-intervalli, quindi in ognuno vale il Teorema di Weierstrass, ovvero esiste il minimo e massimo assoluto della funzione per ogni intervallo, ovvero:
- Si considerano i rettangoli aventi come base e per altezza rispettivamente i minimi per quelli inscritti, i massimi per quelli circoscritti, ed aventi rispettivamente aree:
- Pertanto, sommando le aree rispettivamente degli n cilindri inscritti e degli n cilindri circoscritti, vale quanto segue:dove A è la misura della superficie compresa tra il diagramma della funzione e l'asse x nell'intervallo .
Definizione di integrale definito come convergenza delle aree dei plurirettangoli iscritti e circoscritti al diagramma della curva
DEFINIZIONE
Data una funzione continua nell'intervallo , e la suddivisione in n intervalli uguali , con e , e siano e le aree rispettivamente del pluri-rettangolo inscritto e circoscritto alla curva della funzione; se:si dice che la funzione ammette integrale definito nell'intervallo d'integrazione uguale a tale limite e si scrive:
SIGNIFICATO GEOMETRICO
L'integrale definito rappresenta l'area della parte di piano compresa tra il grafico della curva e l'asse x all'interno dell'intervallo d'integrazione con le seguenti note:
- Sopra l'asse x: Se , l'integrale è positivo (Area positiva).
- Sotto l'asse x: Se , l'integrale è negativo (Area negativa).