Ebenenschar E_a: 4x+2y-3z = 4a

Autor:
Peaceman

Frage 1:

Überlege und begründe ohne Rechnung [!], wie alle Ebenen der Schar im Verhältnis zueinander im Raum liegen.

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Frage 2:

Begründe, warum alle Ebenen der Schar zueinander parallel sind.

Anleitung Applet

In allen Applets ist die x-Achse rot, die y-Achse grün & die z-Achse blau. Du kannst die Ansichten drehen, wenn du die rechte Maustaste festhälst. Du kannst mit allen Ansichten zooomen. Mit dem Schieberegler stellst du jedesmal einen Wert für den Parameter a in den Ebenengleichungen ein. Eine Veränderung des Wertes des Schieberglers erzeugt jedes mal eine Ebene der Schar: E_a: 4x+2y-3z=4a. Für a= 3 --> E_3: 4x+2y-3z=12 Für a=-4--> E_-4: 4x+2y-3z=-16

E_a: 4x+2y-3z=4a

Frage 3:

Der Parameter a ändert in der Ebenengleichung nur den Wert von d (also dem Ergebnis des Skalarproduktes von Stützs- und Normalenvektor) - Was bewirkt also eine Veränderung von d im allgemeinen? Beschreibe möglichst präzise, welche Rolle dabei die betragsmäßige Größe von d spielt! Kannst du deine Beobachtung begründen?

Frage 4:

Schau mal im Applet nach, für welchen Wert des Parameters a die Ebene durch den Ursprung geht. Wie kann dies algebraisch, also durch eine Rechnung begründet werden? Formuliere zuerst den Ansatz!

Frage 5:

Für welchen Wert von a geht Ea: 4x+2y-3z = 4a durch P mit P=(1/1/3)?