Extrempunkte ganzrationaler Funktionen

Die folgende Abbildung zeigt in roter Farbe den Graphen der Gewinnfunktion G des Automobilzulieferers. Dargestellt ist der monatliche Gewinn bei der Produktion von x mal 100 Bauteilen in y mal 100 Euro. Der blaue Punkt P, welcher auf der Funktion G liegt, kann beliebig verschoben werden. An den Graphen der Funktion G ist im blauen Punkt P eine Tangente t gezeichnet und deren Steigung m angegeben. Durch verschieben des blauen Punktes entlang der Funktion f wird diese Steigung sukzessive in grüner Farbe aufgetragen.

Aufgabe I:

  1. Der Graph der Funktion G hat einen Hochpunkt (H) und einen Tiefpunkt (T). Lesen Sie die Koordinaten der beiden Extrempunkte aus der Zeichnung ab und notieren Sie diese in Ihren Unterlagen.
  2. Es existiert ein Zusammenhang zwischen den Extrempunkten der Funktion f und der Steigung. Stellen Sie eine Vermutung für diesen Zusammenhang auf.
  3. Überprüfen Sie Ihre Vermutung indem Sie den Punkt P auf dem Graphen verschieben und sich die Steigung auftragen lassen.
  4. Berechnen Sie die erste Ableitung der Funktion f und formulieren Sie Ihre Erkenntnis in Form einer Funktionsgleichung.
  5. Berechnen Sie anschließend die genauen Koordinaten der Extrempunkte und vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit Aufgabe 1.
  6. Geben Sie eine Empfehlung für die Produktionszahlen des Automobilzulieferers an, wenn das Ziel ist, den Gewinn möglichst zu maximieren.

Aufgabe II:

Sie können nun die Extrempunkte einer ganzrationalen Funktion berechnen. Ohne die Zeichnung des Graphen sind Sie allerdings noch nicht in der Lage zu entscheiden, ob es sich im konkreten Fall um einen Hoch- oder einen Tiefpunkt handelt. Oder doch...? Überlegen Sie, bevor Sie sich den Hinweis weiter unten auf der Seite anschauen.
Haben Sie auch wirklich nachgedacht oder haben Sie zu schnell aufgegeben?
Ganz sicher dass Sie den Hinweis sehen wollen?
Na gut... Betrachten Sie die Steigung links und rechts des Hochpunktes bzw. links und rechts des Tiefpunktes und versuchen Sie Ihre Erkenntnis mathematisch in Form von Ungleichungen zu formulieren.