Vektoren

Ein Vektor beschreibt den Weg von einem Punkt (Ausgangspunkt)zu einem anderen Punkt (Zielpunkt)und wird immer mit einem Pfeil gekennzeichnet. Anhand dieses Pfeils kann man zum einen die Richtung und zu anderem die Länge des Vektors erkennen. Der Mittelpunkt eines Vektors ist immer die Hälfte. Beispiel an dem Vektor v⃗ 3 1,5 v⃗= 3 -> 1,5 3 1,5 Alle Pfeile, die zu einem Vektor gehören (Koordinaten), sind parallel,gleichlang und haben die gleiche Richtung. Umeinen Vektor zu erlangen, braucht man zwei Punkte um ihn zu errechnen. Dies gelingt uns indem wir den zweiten Punkt mit dem ersten Punkt subtrahieren (Spitze minus Schaft) Beispiel an den Punkt1(1/2/3) und Punkt2(4/5/6): Vektor p1p2: 4-1 3 5-2 = 3 6-3 3 Der Vektor p2p1 ist der Gegenvektor von dem Vektor p1p2; und ist zwar gleichlang und parallel, aber er zeigt mit der Pfeilspitze in die entgegengesetzte Richtung. Dazu kommt noch, wenn der Punkt1 von dem Punkt0(0/0/0), dem Ursprung, startet, ist der Vektor p0p1 der Ortsvektor von Punkt1. Diesen brauchen wir später um eine Gerade oder eine Ebene aufzustellen. Doch dies ist nicht die einzige Möglichkeit, die wir mit einem Vektor haben und erreichen können. Und zwar ist es die Linearkombintion: (Xund Y werden in diesen Beispiel unbestimmte Variablen sein, die für jegliche Zahlen stehen können)

Wir addieren zwei Vektoren miteinander, um somit die Strecke beider Vektoren in einem Vektor zusammen zufassen.

X1+Y1 X2+Y2 X3+Y3

Oder wir subtrahieren zwei Vektoren miteinander, um somit die Differenz beider Vektoren zu kriegen (Differenzvektor).

X1-Y1 X2-Y2 X3-Y3

Oder wir multiplizieren einen Vektor, um ihn zum Beispiel dreifach zu verlängern.

3*X1 3*Vektor X = 3*X2 3*X3 Was wir nun an dem Beispiel der Multiplikation gesehen haben, nennt man auch eine Skalarmultiplikation. Dies bedeutet nichts anderes, als das was wir an dem Beispiel gesehen haben, indem wir jede einzelne Zeile mit der Zahl(3) multipliziert haben. Dies kann aber auch der Fall bei der Multiplikation eines Vektors mit einem anderen Vektor oder einem Punkt sein. Nun kommen wir zur letzten Etappe der Station, dem Berechnen der Länge eines Vektors. Dies funktioniert ganz leicht und zwar müssen wir nur die einzelnen Koordinaten des Vektors quadrieren, während wir sie unter einer Wurzel addieren. (symbolisch wird dies mit jeweils einem strich auf jeder Seite des Vektors gekennzeichnet (Betragstriche): |v⃗ | ) v⃗ =x y |v⃗ |= _____ √x²+y² Beispiel an dem v⃗ 1 v⃗= 2 2 |v⃗ |= _______ _____ ___ √1²+2²+2² = √1+4+4 = √9 =3

Übungsaufgaben

Bestimmen Sie aus den Koordinaten der Punkte A und B den Vektor AB und geben sie jeweils den Gegenvektor an und berechnen sie dazu noch die Länge beider Vektoren : A(3/3/2) B(2/1/2)
Zu welchen Punkt ist Vektor P 5 der Ortsvektor und verlängere ihn um das vierfache -7 3

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