ההתחלה - הגדרות, פוסטולטים, אקסיומות

Author:
Igal.Sapir

קרדיט

הרוב המכריע של החומר המוצג כאן נלקח מהערך של יסודות ב-וויקיפדיה
Image

להגדרות

בתחילת הספר הראשון אוקלידס מגדיר 23 הגדרות. בכל ספר אוקלידס מוסיף הגדרות נוספות ככל הנדרש. הנה מספר הגדרות לדוגמה מהספר הראשון:
  • 1. נקודה היא זה שאין לו חלק דרך אחרת להגיד את זה: נקודה היא מקום שאין לו אורך או רוחב, למשל חיתוך של שני קווים
  • 2. קו הוא אורך חסר רוחב
  • 4. קו ישר הוא זה המונח באופן אחיד בין שתי נקודות קצותיו
  • 5. משטח הוא בעל רוחב ואורך בלבד
  • 7. מישור הוא משטח המונח באופן אחיד עם הקווים הישרים על עצמו
  • 10. כאשר קו ישר עומד על קו ישר אחר כך שהזוויות הסמוכות שוות אז הזוויות הן זוויות ישרות והקווים יקראו ניצבים זה לזה
  • 11. זווית קהה היא כזו הגדולה יותר מזווית ישרה
  • 12. זווית חדה היא כזו הקטנה יותר מזווית ישרה
  • 15. מעגל היא צורה במישור הנוצרת על ידי קו אחד כך שקיימת בתוכו נקודה אחת כך שכל הקטעים הישרים על המתחילים בנקודה ומסתיימים הקו שווים באורכם
  • 16. והנקודה הזאת תקרא מרכז המעגל
  • 17. קוטר הוא קטע ישר העובר דרך מרכז המעגל ומסתיים משני צדדיו על היקפו הוא גם חוצה את המעגל
  • 19. מצולעים הם גופים המוגבלים על ידי קווים ישרים, משולשים מוגבלים על ידי שלושה קווים, מרובעים מוגבלים על ידי ארבעה קווים, מרובי צלעות מוגבלים על ידי יותר מארבעה קווים
  • 20. משולש שכל צלעותיו שוות יקרא משולש שווה צלעות, משולש שרק שתיים מצלעותיו שוות זו לזו יקרא משולש שווה שוקיים, משולש שכל צלעותיו שונות יקרא משולש כללי
  • 21. משולש ישר זווית הוא משולש בו יש זווית ישרה, משולש קהה זווית הוא משולש בו יש זווית קהה, משולש חד זווית הוא משולש בו כל שלוש הזוויות הן חדות
  • 22. מרובע שכל צלעותיו שוות וכל זוויותיו ישרות יקרא ריבוע,... מרובע שכל צלעותיו שוות אבל זוויותיו אינן ישרות יקרא מעוין, מרובע שצלעותיו הנגדיות שוות וזוויות הנגדיות שוות אבל אינו שווה צלעות וזוויותיו אינן ישרות ייקרא רומבואיד...
  • 23. קווים מקבילים הם קווים ישרים כך שכאשר הם באותו המישור ומאריכים אותם עד אינסוף בשני הכוונים הם אינם נפגשים בשני הכוונים.
את הרשימה מלאה של ההגדרות בספר הראשון באנגלית ניתן לקרוא באתר של אוניברסיטת קלארק בקישור הבא: Euclid, Elements - Book I - Definitions

הנחות - פוסטולטים

לאחר ההגדרות מונה אוקלידס חמש הנחות ("פוסטולטים") וחמש אקסיומות (הנקראות "מושגים מוסכמים"). אצל אריסטו יש הבחנה חדה בין שני הסוגים. האקסיומות צריכות להיות נכונות כמובן מאליו לכל אדם, בעוד שהפוסטולטים הם הנחות המיוחדות למקצוע, מעין הנחות-עבודה מוסכמות ותו לא. לא ברור האם אוקלידס התכוון לאמץ את מלוא המשמעות של חלוקה זו. בכמה מעותקי הספר מקובצות יחד עשר הנחות היסוד. במתמטיקה המודרנית אין למעשה הבדל בין המושגים. על-פי מרבית המקורות שבידינו, חמש ההנחות הן כדלקמן:
  • דרך כל שתי נקודות אפשר להעביר קטע ישר אחד ורק אחד.
  • כל קטע אפשר להמשיך ללא גבול כקו ישר.
  • בהינתן קטע ישר, ניתן להעביר מעגל שמרכזו בנקודת קצהו האחת, ורדיוסו שווה לקטע הנתון.
  • כל הזוויות הישרות חופפות זו לזו.
  • אם ישר חותך שני ישרים באופן כזה שסכום הזוויות הפנימיות בצד מסוים קטן מכפליים זווית ישרה, אז שני הישרים חותכים זה את זה באותו צד.
חמש הנחות אלה היו למסד של הגאומטריה האוקלידית בגישתה האקסיומטית. ההנחה האחרונה היא אקסיומת המקבילים, שעליה נכתב רבות. את הפוסטולאטים באנגלית ניתן לקרוא באתר של אוניברסיטת קלארק בקישור הבא: Euclid, Elements - Book I - Postulates

אקסיומות

חמש האקסיומות, שמקורן בחשיבה של אסכולת אריסטו:
  • שני גדלים השווים לגודל שלישי, שווים ביניהם.
  • אם מוסיפים גדלים שווים לגדלים שווים, הסכומים שווים.
  • אם מחסרים גדלים שווים מגדלים שווים, ההפרשים שווים.
  • דברים המתלכדים זה עם זה, שווים זה לזה.
  • השלם גדול מחלקו.
את האקסיומות באנגלית ניתן לקרוא באתר של אוניברסיטת קלארק בקישור הבא: Euclid, Elements - Book I - Common Notions