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Fixpunktsatz

Banachscher Fixpunktsatz

Definition Ist M eine Menge und eine Abbildung, dann heißt Fixpunkt von M, wenn ist. Definition Seien und metrische Räume und sei eine Abbildung. Dann heißt f eine Kontraktion oder kontrahierende Abbildung, wenn es eine Konstante L < 1 gibt mit für alle . Eine Kontraktion ist also eine Lipschitz-Abbildung mit Lipschitz-Konstante kleiner als 1, insbesondere also stetig. Satz (Banachscher Fixpunktsatz) Eine kontrahierende Abbildung auf einem vollständigen metrischen Raum X besitzt genau einen Fixpunkt. Ist beliebig und ist die Folge definiert durch für , dann konvergiert diese Folge gegen den Fixpunkt. (vgl. Hinrichs, A.: Analysis 2, Vorlesungsnotizen, Sommersemester 2018, Johannes Kepler Universität Linz)
Aufgabe Verändere die Position des Startwerts .
Die Iteration kann auch in anderer Form dargestellt werden. Aufgabe Wende durch mehrmalige Iteration den cos immer wieder auf das bereits erhaltene Ergebnis an. Verändere den Startwert x.