Fixpunktsatz
Banachscher Fixpunktsatz
Definition
Ist M eine Menge und eine Abbildung, dann heißt Fixpunkt von M, wenn ist.
Definition
Seien und metrische Räume und sei eine Abbildung.
Dann heißt f eine Kontraktion oder kontrahierende Abbildung, wenn es eine Konstante L < 1 gibt mit für alle .
Eine Kontraktion ist also eine Lipschitz-Abbildung mit Lipschitz-Konstante kleiner als 1, insbesondere also stetig.
Satz (Banachscher Fixpunktsatz)
Eine kontrahierende Abbildung auf einem vollständigen metrischen Raum X besitzt genau einen Fixpunkt.
Ist beliebig und ist die Folge definiert durch für , dann konvergiert diese Folge gegen den Fixpunkt.
(vgl. Hinrichs, A.: Analysis 2, Vorlesungsnotizen, Sommersemester 2018, Johannes Kepler Universität Linz)
Aufgabe
Verändere die Position des Startwerts .
Die Iteration kann auch in anderer Form dargestellt werden.
Aufgabe
Wende durch mehrmalige Iteration den cos immer wieder auf das bereits erhaltene Ergebnis an.
Verändere den Startwert x.