Quartik Grund-Konstruktion
Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books Moebiusebene. nachbearbeitet: Juli 2021
Bizirkulare Quartiken: MusterkonstruktionenHyperbolische Quartik-Konstruktion
Die Objekte der hyperbolischen Ebene im POINCARÉschen Kreisscheiben-Modell:
PUNKTE sind die Punkte im Inneren des (gelben) "absoluten" Kreises.
GERADEN sind die im Inneren verlaufenden Kreisbögen von Kreisen, die orthogonal zum absoluten Kreis sind.
KREISE sind Kreise, sie stehen senkrecht auf den GERADEN durch einen PUNKT p. Es sind die Kreise des hyperbolischen Kreisbüschels mit dem PUNKT p
und dessen im Äußeren liegenden am absoluten Kreis gespiegelten Punkt p' als Büschelpunkten.
Benötigte Grund-Konstruktionen:
- KREIS k um einen PUNKT M durch einen PUNKT P
- MITTELSENKRECHTE m zu 2 PUNKTEN P und Q
- GERADE g durch 2 PUNKTEN P und Q
- die WINKELHALBIERENDEN w1 und w2 von 2 sich schneidenden Geraden g1 und g2
- Zeichne einen KREIS cL um f2 (LEITKREIS)
- Zeichne zu q auf cL die MITTELSENKRECHTE m von q und f1
- Die GERADE g2 = qf2 schneidet m in einem Punkt p der Quartik.
- m ist WINKELHALBIERENDE der GERADEN g1 = pf1 und g2 und TANGENTE der Quartik.
- Zeichne die beiden BRENNSTRAHLEN g1 = f1p und g2 = f2p
- Zeichne eine der WINKELHALBIERENDEN m
- Spiegele f1 an m, q sei der SpiegelPUNKT
- Der KREIS um f2 durch q ist LEITKREIS der Quartik
Elliptische Quartik-Konstruktion
Die elliptische Konstruktion einer 2-teiligen bizirkularen Quartik ist nicht leicht darzustellen:
Auf der Möbius-Kugel besitzt eine solche Quartik einen Symmetrie-Punkt innerhalb der Kugel.
Von diesem Punkt wird die Quartik auf die außerhalb der Kugel liegende Polar-Ebene projiziert, das
ergibt in dieser einen Kegelschnitt, der mit den Werkzeugen der elliptischen Ebene konstruiert wird.
Bei der Projektion werden immer 2 gegenüberliegende Punkte auf einen PUNKT projiziert;
im Applet oben sind die zusammengehörenden Punkte gleich bezeichnet.
Die Konstruktion der elliptischen HYPERBELN oder ELLIPSEN ist analog zum Vorgehen in der hyperbolischen Ebene -
zu ersetzen sind nur die hyperbolischen Objekte durch die entsprechenden elliptischen!
Euklidisch/Äquiforme Quartik-Konstruktion
In der vielleicht scheinbar vertrauten euklidischen Welt sind GERADEN Geraden und KREISE Kreise.
Wobei Kreise ohne den Abstandsbegriff auch als Ortskurven definiert werden können: Kreise schneiden die Geraden eines Geradenbüschels senkrecht.
In der äquiformen Geometrie sind auch Streckungen zugelassen, ein invarianter Abstandbegriff ist damit nicht mehr möglich.
Dennoch sind Kreise - und mit der obigen Konstruktion auch die Kegelschnitte Objekte dieser äquiformen Geometrie.
Neben den Geraden und den Kreisen gibt es in der äquiformen ebenen Geometrie zusätzliche schöne einfache Kurven:
die logarithmischen Spiralen sind Bahnkurven von einparametrischen Untergruppen - komplex definiert zB. mit .
Für die oben konstruierten "Quartiken" ist ein doppelt-zählender Brennpunkt.
Leitkreise cL sind die um f1 konzentrischen Kreise.
Für Punkte q auf cL sind die Mittelsenkrechten zu qf2 Tangenten der Quartik, der Brennstrahl qf1 schneidet die
Tangente in einem Punkt der "Quartik" - diese Konstruktion ist die Leitkreis-Konstruktion von Kegelschnitten!
Unten: ist ein 3-fach zählender Brennpunkt. Die Quartik (Parabel) besitzt nur einen Symmetrie-Kreis.
Der Leitkreis ist eine Gerade.
Ein doppelt-zählender Brennpunkt
Transformiert man den doppelt-zählenden Brennpunkt "" mit einer Möbiustransformation nach ,
so wird die bizirkulare Quartik zu einem zweiachsigen Kegelschnitt.
Einteilige bizirkulare Quartik: Konstruktion
Die Brennpunkte f1, f'1 und f2, f'2 liegen spiegelbildlich auf zwei orthogonalen Kreisen.
Brennkreise sind für f1, f'1 die Kreise des elliptischen Kreisbüschel, für f2, f'2 die des hyperbolischen Kreisbüschels.
q und f1 liegen spiegelbildlich zum doppelt-berührenden Kreis!
1-Teilige Quartik : hyperbolisch gedeutet?
Wie lassen sich diese Kurven in der hyperbolischen Ebene geometrisch deuten?
Im POINCARÉschen Kreisscheiben-Modell oben liegt ein BRENNPUNKT f'1 vor (hyperbolisch identisch mit f1).
Die GERADEN durch f1 bilden die eine BRENNGERADEN-Schar (es sind die zum absoluten Kreis orthogonalen
Kreise durch f1, f'1 ). Die Schar der anderen BRENNGERADEN sind die Kreise, welche auf den
absoluten Kreis und dem grünen Kreis durch f2, f'2 senkrecht stehen. Hyperbolisch eine PARALLELEN-Schar.
Die Quartiken sind Winkelhalbierende dieser beiden BRENNGERADEN-Scharen.