Unicità del limite

Autore:
F. Manzo
Argomento:
Limiti

Unicità del limite

L'unicità del limite

Teorema di unicità del limite:
se an ha limite a  e an ha limite a', allora a=a'
Dimostrazione:  
  • supponi per assurdo che aa'
  • scegli ε= |a-a'|/4; se aa' allora  ε>0 .
  • ma se ε>0 e se an ha limite a, allora esiste un numero k per cui |an-a|ε  per tutti gli n>k
  • analogamente, se an ha limite a', esiste un numero k' per cui |an-a'|ε  per tutti gli n>k'
  • quindi, per tutti gli n>max{k,k'}, devono valere sia |an-a|ε  che |an-a'|< ε
  • ma usando la disuguaglianza triangolare  con x=an-a  e y=a'-an, scopri che 
 |a-a'| = |x+y| ≤ |x|+|y||an-a|+|an-a'| < 2ε = |a-a'|/2 ma questo è assurdo perché il numero positivo |a-a'| non può essere minore della propria metà. Nel foglio di lavoro, puoi cambiare i valori di a, di a' e di ε fsa. Se scegli ε < |a-a'|/2, i due corridoi intorno alle rette y=a e y=a' si separano, e non è possibile che esista nemmeno un elemento della successione che è in ambedue i corridoi. Ma questo contraddice l'ipotesi che sia a che a' fossero limiti della successione.