Triangolo ortico
Si chiama triangolo ortico di un triangolo dato il triangolo che ha per vertici i piedi delle sue altezze.
L' ortocentro di un triangolo coincide con l'incentro del suo triangolo ortico.
Costruzione
Disegnare un triangolo ABC, le sue altezze AK, BH, CJ, il suo ortocentro O e il triangolo KHJ.
| Ipotesi | Tesi |
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Dimostrazione
- Gli angoli CHO e CKO sono supplementari perchè entrambi retti per ipotesi
- quindi CHOK è un quadrilatero inscrivibile in una circonferenza avendo gli angoli opposti supplementari.
- Gli angoli CKH e COH sono congruenti perchè angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco CH.
- Analogamente si dimostra che sono congruenti gli angoli BKJ e BOJ.
- Gli angoli BOJ e COH sono congruenti perchè opposti al vertice.
- Per 3, 4, 5 e per la transitività della congruenza gli angoli CKH e BKJ sono congruenti.
- HKO e CKH sono complementari per ipotesi come pure JKO e BKJ quindi gli angoli HKO e JKO sono congruenti perchè complementari di angoli congruenti (6).
- Perciò AK è bisettrice dell'angolo HKJ e in modo analogo si dimostra che BH e CJ sono bisettrici di KHJ e HJK.