Optimisation de la somme de deux aires

On veut aménager un petit jardin situé sur un terrain rectangulaire ABCD de largeur AB = 5 m et de longueur BC = 9 m Pour cela , on plante un poteau P sur le côté [AD] . On construit ensuite le carré AMNP avec M sur [AB], ainsi que les rectangles NPDS et MBRN avec R appartenant à [BC] et S appartenant à [CD]. Dans les rectangles NPDS et MBRN , on a prévu de planter du gazon ; le reste sera destiné à des massifs de fleurs . En faisant varier la position du point M, déterminer les valeurs de x = AM ou AP de telle sorte que l'aire du gazon 1) soit supérieure à la moitié de l'aire du terrain ; 2) soit maximale .  3) soit égale à 24 m² . On note x la longueur AP et A(x) la somme des aires des rectangles NPDS et MBRN . 1. Montrer que , pour tout x de l'intervalle [0 ; 5] , A(x) = - 2x² + 14 x . 2. a) Justifier que la somme des aires des rectangles NPDS et MBRN estsupérieure à la moitié de l'aire du rectangle ABCD si et seulement si -4x²+ 28x > 45 . b) Montrer que -4x² + 28x – 45 = (-2x +5) (2x – 9) . c) En déduire les valeurs de x pour lesquelles A(x)est supérieure à la moitié de l'aire de ABCD. 3.a) Montrer que A(x)= 24,5 – 2(x –3,5)² . b) Dresser le tableau de variations de la fonction . 4.En utilisant l'expression obtenue à la question 4.a) , résoudre l'équation A(x)= 24.