Gli oggetti primitivi del piano cartesiano
Gli oggetti primitivi sono in rosso ( C, 0, -, +, 1, R⁺, ·, i ). C è l'insieme dei punti del piano cartesiano.
C ) Innanzitutto nel modello si ha un insieme, indicato con il simbolo C, i cui elementi sono detti punti e sono rappresentati dai punti di un piano (quello della figura, appunto).
0 ) Fra i punti del piano C, ve ne è uno, indicato col simbolo 0 e detto zero o origine del piano C. Tale punto serve come riferimento per tutti gli altri punti del piano (possiamo unire ogni punto a tale origine tramite una freccia che inizia nell'origine e termina nel punto considerato).
- ) Nel piano C è possibile applicare ai punti un operatore, indicato con il simbolo - e detto meno o opposizione; tale operatore va da C a C, ossia applicato a un dato elemento di C fornisce come risultato un elemento di C: ad esempio ad un elemento A associa - A (detto opposto di A); vedremo in seguito come si realizza graficamente tale operatore, ma intanto puoi muovere A col mouse e vedere come in corrispondenza varia -A. + ) Nel piano C è possibile applicare a ogni coppia di punti un'operazione (ossia un operatore a due argomenti, ossia con due dati, ovvero con due input), indicata col simbolo +. Tale operazione produce come risultato (output) un punto. L'operazione + è detta addizione: entrambi gli argomenti di tale operazione sono punti. Ad esempio a A e B corrisponde come valore il punto indicato come A+B, detto somma di A e B oppure A più B. Vedremo in seguito come si realizza graficamente tale operazione, ma intanto puoi muovere A e B col mouse e vedere come in corrispondenza varia il punto A+B. (Nota il parallelogramma) 1 ) Nel piano C è dato anche un secondo punto, indicato col simbolo 1 e detto uno o unità. R⁺ ) Esiste un sottoinsieme di C (la semiretta rossa nella figura, partente da 0 e passante per 1), indicato con il simbolo R+, i cui elementi sono detti numeri reali positivi o semplicemente numeri positivi. Se x è positivo, allora -x (opposto di x) è detto negativo. La rappresentazione grafica di tale insieme è data da una semiretta che parte da 0, ma privata dello stesso 0 (ossia 0 non appartiene a tale semiretta), L'unione della semiretta positiva con quella negativa, con l'aggiunta di 0, costituisce quello che viene detto asse reale. L'unità 1 appartiene a R⁺. • ) Nel piano C è possibile operare con una seconda operazione, indicata col simbolo • e detta moltiplicazione. Il primo argomento di tale operazione deve essere un numero reale (ossia un elemento dell'asse reale), mentre il secondo argomento è un punto qualunque. Spesso fra i due argomenti il simbolo • si omette. Ad esempio a x e A viene associato x•A = x A, detto prodotto di x e A oppure x per A. Vedremo in seguito come si realizza graficamente tale operazione, ma intanto puoi muovere x e A col mouse e vedere come in corrispondenza varia x•A. (Nota i triangoli △(0, 1, A) e △(0, x, x•A). i ) Nel piano C è dato anche un terzo punto indicato col simbolo i e detto unità ortonormale (o anche unità immaginaria). Vedremo successivamente come tale punto è collocato nel modello grafico rispetto agli altri due (0 e 1) e che ruolo esso ricopre. Intanto puoi muovere la semiretta positiva muovendo col mouse il punto 1 , per vedere come è posizionato i rispetto a 0 e 1.