Corbes (I): equacions algebraiques i construccions dinàmiques
- Autor:
- Josep Lluís Cañadilla
Introducció
Les còniques són exemples de corbes, però no són les úniques. N'hi ha moltes. Seguidament veurem com es poden crear corbes a partir d'unes expressions algebraiques o bé a partir d'unes construccions dinàmiques.
Catenària
La catenària és la corba que es produeix quan agafem una cadena pels dos extrem sense tibar-la. La corba s'assembla molt a una paràbola, però no ho és.
Tasca 1
Inseriu un punt lliscant a que prengui valors entre -5 i 5 amb increment 0.1. Introduïu a la línia d'entrada la fórmula
Investigueu com varia la forma de la corba que anomenem catenària segons el paràmetre a.
Inseriu un punt lliscant b que prengui valors entre -5 i 5 amb increment 0.1. Introduïu a la línia d'entrada la fórmula y = b x2 d'una paràbola. Compareu les dues gràfiques.
Cardioide i nefroide
Partim d'una circumferència. Al voltant d'aquesta fem girar una altra circumferència. Si les dues tenen el mateix radi, tindran la mateixa longitud, per tant quan la segona circumferència hagi fet un tomb al voltant de la primera, haurà rotat sobre sí mateixa un cop. Si la segona circumferència té per radi la meitat de la primera, quan la segona circumferència hagi fet un tom al voltant de la primera, haurà rotat sobre si mateixa dues vegades.
Si fixem un punt sobre la segona circumferència, aquest punt descriurà una corba al voltant de la primera circumferència. Anem a investigar-ho.
Tasca 2
Seguiu les indicacions següents per a realitzar la construcció:
- Dibuixeu una circumferència de centre l'origen de coordenades i de radi 1, ho podeu fer amb l'eina Circumferència donats el centre i el radi.
- Inseriu un punt lliscant k que prengui valors entre 0.1 i 3 amb increment de 0.1. Aquest paràmetre indicarà la relació entre el radi de la primera i segona circumferència. De fet, donat que la primera té radi 1, la k indicarà el radi de la segona circumferència. Un cop creat, deixeu-lo amb valor 1.
- Inseriu un punt lliscant α de tipus angle, que prengui valors entre 0º i 1080º amb un increment de 1º i a Repeteix seleccioneu Creixent. Aquest angle determinarà l'angle de gir de la segona circumferència sobre la primera.
- A la línia d'entrada escriviu:
B=Rotació(Translació(A, (1+k,0)),α,A)
Aquest punt serà el centre de la segona circumferència.
- Dibuixeu una circumferència de centre B i radi k.
- Determineu la intersecció de les dues circumferències. Anomeneu aquest punt C.
- A la línia d'entrada escriviu:
D=Rotació(C,α/k,B)
Us ha de quedar com a la imatge següent, en la qual s'ha marcat de color vermell els arcs del "recorregut".
- Activeu el traç del punt D.
- Activeu l'animació de l'angle α.
Observeu la corba que es forma. És una circumferència? És una el·lipse? No, és una corba anomenada cardioide.
Per aturar l'animació teniu la icona a la part inferior esquerra de la finestra gràfica. Per esborrar el traç cal posar CTRL+F.
Investigueu per a valors de k=0.5 (nefroide), k=0.2, k=2 i altres valors de k.
Tasca 3
En una nova finestra de GeoGebra, introduïu a la línia d'entrada:
(x^2+y^2-4)^3-108y^2=0
Què hi observeu?
Consulta la següent pàgina web per conèixer més equacions que donen lloc a corbes espectaculars:
http://www.wikiwand.com/it/Curva_sestica
A continuació tens un parell d'imatges que contextualitzen aquestes corbes.
Sensibilitat d'un micròfon
Reflexe sobre una superfície líquida d'un got.
