Inleiding
Onderzoeksvraag
In dit Geogebraboek gaan we onderzoeken hoe we de ligging van een rechte resp. een vlak ten opzichte van een bol kunnen bepalen.
Voorstelling van de figuren
Om dit te kunnen bepalen moeten we weten hoe we een rechte, vlak en bol algebraïsch voorstellen.
BOL
De algemene vergelijking van een bol met als middelpunt A(a,b,c) en straal r kan als volgt worden geformuleerd.
met (x,y,z) de coördinaten van elk punt op de bol.
In deze onderzoeksopdracht zullen we een bol met middelpunt de oorsprong en straal 1 gebruiken.
RECHTE
Een rechte kunnen we op verschillende manieren voorstellen.
Enerzijds door twee punten:
vb. Gegeven A(a,b,c) en B(d,e,f) en A verschillend van B.
De rechte door deze twee punten is gegeven door de vergelijking:
Anderzijds door een punt en een richtingsvector:
vb. Gegeven A(a,b,c) en (d,e,f).
De rechte door het punt A met richting gegeven door u wordt gegeven door de
vergelijking:
In deze onderzoeksopdracht gebruiken we de tweede voorstellingsmethode.
VLAK
Ook een vlak kan je op verschillende manieren voorstellen.
Enerzijds is er door 3 punten:
vb. Gegeven: punt A(a,b,c), punt B(d,e,f) en punt C(g,h,i) die niet op eenzelfde rechte liggen.
We kunnen het vlak construeren met de volgende vergelijking:
Vervolgens door een punt en een rechte.
Anderzijds door een punt en 2 richtingsvectoren:
vb. Gegeven: punt A(a,b,c), (k,l,m) en (o,p,q) waarbij en geen veelvoud van elkaar zijn.
We kunnen opmerken dat de oplossingsverzameling van elke eerstegraadsvergelijking in 3 onbekenden overeenkomt met een vlak en vice versa.
In de onderzoeksopdracht gebruiken we de voorstelling met een punt en 2 richtingsvectoren. Daarnaast geven we ook de overeenkomstige eerstegraadsvergelijking in 3 onbekenden die hiermee overeenkomt.
NAVIGATIE
In de Geogebra-applets is het mogelijk om het 3D-venster te draaien. Je moet hiervoor:
1. In het 3D-tekenvenster klikken.
2. Er verschijnt nu bovenaan de applet een knoppenbalk.
3. De allerlaatste knop heeft je de mogelijkheid om je venster in alle richtingen te draaien.