Cadena de Pappus - Arbelos
Si se tienen dos circunferencias b y c tangentes interiores de diámetros d = AB y D = AC, que se ha supuesto igual a 1 en la figura, se puede crear una cadena infinita de circunferencias tangentes exteriormente a una e interiormente a la otra, así como a la anterior y siguiente en la cadena, empezando en cualquier parte. Se trata de una cadena de Pappus. Si una de ellas tiene como diámetro BC, el área delimitada por las semicircunferencias AB, BC y CA, del mismo lado de la recta AB, constituyen un Arbelos (del griego cuchillo de zapatero).
Para construirlo basta considera la inversión de centro A y radio AC, por ejemplo, que transforma las circunferencia b y c en las rectas paralelas b' y c', y las circunferencias de la cadena en circunferencias tangentes a ambas rectas, y por tanto con el mismo radio, y entre si. esto permite calcular con facilidad los radios y las posiciones de los puntos de tangencia de las circunferencias de la cadena para determinadas posiciones de la cadena.
También permite comprobar de un vistazo que las tangentes comunes de las circunferencias de la cadena y las rectas que unen sus puntos de contacto con b y c pasan por un mismo punto G. Este punto G es el inverso del simétrico de A respecto a la parlela media g' de c' y b', puesto que las circunferencias que pasan por A y G', como las que pasan por los puntos de contacto, se transforman en rectas que pasan por G. Los puntos de contacto de las circunferencias de la cadena se hllan en la circunferencia g inversa de la recta g', y que tiene como radio la media armónica de los radios de b y c.
Si rn, rn+1, rn+2 y rn+3 son los radios de cuatro circunferencias consecutivas de la cadena, se tiene que:
Si se expreas en función de las curvaturas, un = 1/rn, se puede expresar como: un+3 = 3un+2 - 3un+1 + un. Esto es una recurrencia lineal homógenea, que tiene como única raíz característica (triple) q = 1. Su solución se corresponde entonces con un polinomio de 2º grado en n. En definitiva, esta relación solo nos dice que el radio de las circunferencias varía con el inverso del cuadrado de su número de orden.
Considerando los radios de cada circunferencia de la cadena y de las circunferencias b y c, se ve fácilmente también que los centros se hallan en una elipse de focos los centros B y C de las circunferencias b y c, y de eje mayor R + r, que tiene vértices principales en A y en el punto medio de B y C.
Si la disposición de las circunferencias de la cadena es simétrica, t = 0º en la figura, la circunferencia de centro A ortogonal a una cualquiera de la parte superior, también lo es a su simétrica de la parte inferior. Entonces una inversión de centro A con tal circunferencia de puntos dobles, deja invariantes a las circunferencias dadas, y transforma las circunferencias que las separan en la parte derecha de la cadena en una cadena rectílinea de circunferencias iguales.
Si BC es el diámetro de una de estas circunferncias, llamándola c0 y c1, c2, ..., cn a las que le siguen en la parte superior, la distancia del centro de cn al eje es n·dn, siendo dn el diámetro de cn.
Si BC es tangente a dos circunferencias de la cadena, numerándolas a partir de 1, el centro de cn se halla a una distancia (n - 1/2)dn del eje.