EN-mate-2018
Subiectul I
1. Rezultatul calculului 30 − 30 : 3 este egal cu ... .
Păi, 30-30=0, 0:3=0, sau poate, 30-10=20.
2. Zece caiete de acelaşi fel costă 40 de lei. Cinci dintre acestea costă ... lei.
10 caiete ... 40 lei, 1 caiet ... 40:10=4 lei, 5 caiete costă 5 x 4 =20 lei, sau ca bunica,
5 caiete înseamnă jumătate din 10 caiete, deci, jumătate din preţ, 40 lei : 2 = 20 lei,
sau, cu celebera regulă de trei şi simplă:
d.p.
10 caiete ........... 40 lei
5 caiete ........... x lei
.
3. Dacă A = { 1,2,3, 4 } , B = { 1,3, x} și A ∪ B = { 1, 2,3, 4,5 } , atunci numărul x este egal cu ... .
Reuniunea mulţimilor conţine tot ce mişcă, prin acestea, "luate" doar odată. Cum 5 nu apare în A, trebe musai să fie în B, pe post de x, so, x = 5. (Până aici sunt sigur de 10p.)
4. Un trapez are baza mare de 12cm și baza mică de 8cm . Linia mijlocie a acestui trapez are
lungimea egală cu ... cm .
Lungimea liniei mijlocii, în trapez este media aritmetică a (lungimilor) bazelor; pe cale de consecinţă, (12 + 8)/2= 10.
5. În Figura 1 este reprezentat paralelipipedul dreptunghic ABCDA ' B ' C ' D ' cu AB = 10cm ,
BC = 5cm și AA ' = 4 cm . Volumul acestui paralelipiped este egal cu ... cm 3 .
Volumul unei cutii de chibrituri este = .
6. În tabelul de mai jos sunt prezentate temperaturile înregistrate la ora 8, la o stație meteo, în
fiecare zi a unei săptămâni din luna februarie.
Ziua: luni marți miercuri joi vineri sâmbătă duminică
Temperatura: −1 −8 −10 −3 1 3 5
Conform tabelului, media aritmetică a temperaturilor pozitive înregistrate este egal ă cu ... °C.
Pozitive sunt 1, 3 şi 5, primele trei numere naturale, impare, consecutive (din 2 în 2), prin urmare, ce are 5 în plus faţă de 3, atât are 1 în minus, tot faţă de 3. Media este 3.
Desigur, un şcolar avansat (nu e cazul meu), ar folosi formula:
.
Subiectul II
1. Desenaţi, pe foaia de examen, un cub ABCDA ' B ' C ' D ' .
Arată precum cutia de mai sus, cu ABB'A' şi CDD'C', pătrate.
2. Arătați că numărul natural este divizibil cu 17 , pentru orice număr natural n .
Dacă n = 0, , e chiar 17,
Dacă n = 1, , e dublul lui 17.
După mai multe încercări, am prins curaj şi l-am scos, cu tupeu, pe factor comun,
, altfel spus, N este multiplu de 17, pentru orice valoare pofteşte să ia n.
3. Mai mulți elevi vor să cumpere împreună materiale pentru un proiect școlar. Dacă fiecare elev contribuie cu câte 20 de lei, mai sunt necesari 20 de lei pentru cumpărarea materialelor, iar dacă fiecare contribuie cu câte 25 de lei, rămân 5 lei după cumpărarea materialelor. Determinați suma necesară pentru cumpărarea materialelor.
Dacă x = nr. contribuabililor, atunci suma necesară = 20x +20 = 25x - 5, cum s-ar zice,
20 + 5 = 25x - 20x, sau 5x = 25, 5 x ? fac 25. Ori 5. x = 5 (proba: 20 x 5 +20 = 25 x 5 -5).
4. Se consideră funcţia f : R → R , f ( x ) = 2 x + 4 .
a) Reprezentați grafic funcţia f într-un sistem de coordonate xOy .
b) În sistemul de coordonate xOy se consideră punctul D ( 0, −1 ) . Determinați distanța de la punctul D la graficul funcției f .
În
, dreptunghic în O (axele de coordonate sunt numai perpendiculare, în gimnaziu, la liceu nu ştiu cum stă treaba) folosim teorema lui Pitagora pentru lungimea ipotenuzei (AB), apoi, determinăm, fără prea mare fason, înălţimea corespunzătoare lui AB, astfel:
, de unde .
Dacă mi s-ar fi apărut ideea că triunghiul ABD ar fi dreptunghic, în B, desigur, aş fi economisit ceva cerneală, astfel:
(2x2=1x4),
prin urmare se verifică teorema înălţimii, ceea ce spune că triunghiul ABD ar fi dreptunghic în B (dar versiunea asta n-am făcut-o la şcoală, sau am dormit când s-a făcut). Să încercăm cu relaţia din TP.
, , iar . Prin urmare şi astfel triunghiul ABD e cum ne-am dorit, iar distanţa de la D la grafic este
.
N-am fost aşa de transpirat (a se citi inspirat), motiv pentru care am construit şi am folosit asemănarea truunghiurilor AOC şi ADM (dreptunghice cu un unghi comun).
Din această asemănare, avem relaţia:
, sau , ceea ce revine la (după calcule laborioase) , cum era de aşteptat.
Încă o variantă, ar fi să considerăm triunghiul ABD şi aria sa.
Avem
aria , unde DM este înălţimea din D (care măsoară distanţa de la D la graficul funcţiei f, aka dreapta AB). Înlocuind valorile cunoscute, obţinem
.
5. Se consideră expresia , unde x este număr real, x ≠ −3 şi x ≠ 3 . Arătați că , pentru orice x număr real, x ≠ −3 şi x ≠ 3 .
Expresia asta nu prea arată multă suferinţă,
.Subiectul III
1. În Figura 2 sunt reprezentate un triunghi echilateral ABC cu AB = 10cm și un triunghi isoscel
CDE cu CD = DE = 10cm . Punctul C este situat pe segmentul BE , iar punctele A și D sunt
situate de o parte și de alta a dreptei BE astfel încât m ( ∢BCD ) = 150° . Punctele M și N sunt
mijloacele segmentelor BC , respectiv CE .
a) Arătați că unghiul DCE are măsura de 30° .
b) Demonstrați că triunghiurile ACM și CDN sunt congruente.
c) Arătați că patrulaterul AMDN are aria mai mică decât 95cm .
a) Unghiurile şi sunt suplementare (B, C, E sunt coliniare şi aşezate în această ordine), de unde, avem , cum se cere.
b) AM şi DN sunt mediane de la vârf în triunghiuri isoscele, prin urmare sunt şi înălţimi şi bisectoare pentru unghiurile A respectiv D.
Prin urmare în triunghiurile ACM și CDN , unghiurile M şi N au , unghiurile A şi C au (triunghiul ABC este echilateral, ceea ce atrage măsura unghiurilor sale de , iar AM e bisectoare, cum am mai zis), iar AC=CD= 10 cm, din ipoteză. Cazul vizat este ULU, iar triunghiurile nominalizate sunt congruente, altfel scris
c) Aria AMDN = Aria AMN + Aria DMN =.
2. În Figura 3 este reprezentată o piramidă triunghiulară regulată VABC cu AB = 12cm și
VO = 8cm , unde punctul O este centrul cercului circumscris bazei ABC . Punctele M , N , P și
Q sunt mijloacele segmentelor VA , AB , AC și, respectiv, BC .
a) Arătațică perimetrul bazei ABC este egal cu 36 cm .
b) Demonstrați că dreapta VQ este paralelă cu planul ( MNP ) .
c) Determinați numărul real p , ș tiind că volumul piramidei MANP reprezintă p% din volumul
piramidei VABC .
a) O piramidă triunghiulară regulată are baza, triunghi echilateral, cum s-ar zice
perimetrul triunghiului ABC = 3 x AB = 36 cm.
b) Întâi de toate, planul (VBC) este paralel cu planul (MNP), pe motiv că (intrigă puternică, fiţi atenţi), nici mai mult nici mai puţin, (asta casă scap de kkfonie) conţine două drepte concurente, fiecare paralelă cu planul (MNP). Anume,
MN e linie mjlogie în , deci e paralelă cu VB
MP e linie mjlogie în , deci e paralelă cu VC.
Cum M nu poate fi punct al planului (VBC), fiindcă ar intra şi A acolo şi adio piramidă, rezultă că cele două drepte concurente VB şi VC sunt paralele cu planul (MNP), iar de aici, rezultă că şi planele (VBC) şi (MNP) sunt paralele.
De aici, putem concluziona că şi dreapta VQ inclusă în (VBC) este paralelă cu planul (MNP), altfel ar avea măcar un punct comun cu (MNP) şi s-ar duce de râpă paralelismul celor două plane.
c) Aici, povestea se reduce la raportul de asemănare dintre piramidele MANP şi VABC, care este , M fiind mijlocul lui AV. Asta implică raportul volumelor, anume
, sau pentru finalizare p = 12,5.
P.S. Dacă vreţi să aflaţi de ce sunt cele două piramide asemenea, va trebui să aşteptaţi, până când vin rezultatele.
P. L. Oaie & Co