Térgörbe kísérő triédere és simulóköre

Aki valaha ‑  matematikusként, vagy mérnöki tanulmányai során – először találkozott a térgörbék fogalmával, vizsgálatával, bizonyára szeretett volna minél szemléletesebb módon megismerkedni ezekkel a fogalmakkal. Nem feladatunk a térgörbék matematikai tulajdonságainak a teljes feldolgozása, erre az érdeklődőknek manapság sok lehetőségük akad, akár az interneten keresztül is. Itt elsősorban a GeoGebra eszköztárának a minél alaposabb kihasználására mutatunk példát. Javasoljuk az itt bemutatott applet letöltését, és a forrásfájl futtatását, elemzését.

Térgörbe kísérő triédere és simulóköre

Használjuk ki a lehetőséget, hogy a paraméteres egyenletrendszerrel megadott térgörbét leíró három függvény átírásával bármilyen térgörbét megvizsgálhatunk. Például az un. lóhere csomó (trefoil knot) amely a legegyszerűbb - matematikai - csomó így adható meg:  ( sin(t) + 2sin(2t) , cos(t) - 2cos(2t) , -sin(3t) )    -π  t  π   Ugyancsak könnyedén szemléletessé tehetők az alábbi megállapítások:·                  ( 3 sin(t)  ,  3 cos(t)  ,  0 )    -π  t  π    Minden kör simulóköre önmaga.              ( 3 sin(t)  ,  3 cos(t)  ,  t )    -2π  t 2π   Csak két olyan görbe létezik, amelynek az összes simulóköre ugyanakkora sugarú, a kör és a csavarvonal (a rugó).             ( 4 cos(t)  ,  2 sin(t)  ,  0  )      -π  t   π   Egy ellipszis.             (  t   ,   0  ,  t^3      ) -2    ≤ t ≤   2               (  t   ,   sin(2t)   , (t^3-t)/3 )  -2    ≤ t ≤    2             (  t  ,   sin(2t )   , sin(t) )   -2π t ≤               (  t  ,  sin(2t) , t^3 )    -π   ≤ t ≤   π             (  t-sin(t) ,  t cos(4 t ) , t+sin(4 t) ) -2π   ≤ t ≤   2π  Ha egy görbének van olyan pontja, amelyre középpontosan szimmetrikus, akkor ebben a szimmetriacentrumban nem áll elő kísérő triéder, így simulókör sem. Az itt leírt térgörbék centrálisan szimmetrikusak az origóra. (Az utolsó, már eléggé kacifántos. J Csúszkával szinte lehetetlen beállítani a P(0) pontot, viszont ha a Mozgó pont jelölőnégyzetet ki, majd bekapcsoljuk, t aktuális értéke a csúszka végpontjainak a számtani közepe lesz, a fenti esetekben t=0.

Simulókörök az ellipszis tengelypontjaiban

Az ellipszis kistengelyének a végpontjához tartozó simulókör tartalmazza az ellipszist, a nagytengely végpontjába tartozót az ellipszislap tartalmazza. Ezek a simulókörök mind szerkesztéssel, mind számolással könnyen meghatározhatók. Itt jegyezzük meg, hogy amikor még a számítógép nem segített a (műszaki)rajzok készítésében, az ellipszis minél pontosabb megrajzolásához nagy segítséget nyújtottak a tengelyek végpontjaihoz tartozó simulókörök.