H 02 Térgörbe kísérő triédere és simulóköre
Aki valaha ‑ matematikusként, vagy mérnöki tanulmányai során – először találkozott a térgörbék fogalmával, vizsgálatával, bizonyára szeretett volna minél szemléletesebb módon megismerkedni ezekkel a fogalmakkal.
Nem feladatunk a térgörbék matematikai tulajdonságainak a teljes feldolgozása, erre az érdeklődőknek manapság sok lehetőségük akad, akár az interneten keresztül is. Itt elsősorban a GeoGebra eszköztárának a minél alaposabb kihasználására mutatunk példát.
Javasoljuk az itt bemutatott applet letöltését, és a forrásfájl futtatását, elemzését.
Térgörbe kísérő triédere és simulóköre
Használjuk ki a lehetőséget, hogy a paraméteres egyenletrendszerrel megadott térgörbét leíró három függvény átírásával bármilyen térgörbét megvizsgálhatunk.
Például az un. lóhere csomó (trefoil knot) amely a legegyszerűbb - matematikai - csomó így adható meg:
( sin(t) + 2sin(2t) , cos(t) - 2cos(2t) , -sin(3t) ) -π ≤ t ≤ π
Ugyancsak könnyedén szemléletessé tehetők az alábbi megállapítások:·
( 3 sin(t) , 3 cos(t) , 0 ) -π ≤ t ≤ π
Minden kör simulóköre önmaga.
( 3 sin(t) , 3 cos(t) , t ) -2π ≤ t ≤ 2π
Csak két olyan görbe létezik, amelynek az összes simulóköre ugyanakkora sugarú, a kör és a csavarvonal (a rugó).
( 4 cos(t) , 2 sin(t) , 0 ) -π ≤ t ≤ π
Egy ellipszis.
( t , 0 , t^3 ) -2 ≤ t ≤ 2
( t , sin(2t) , (t^3-t)/3 ) -2 ≤ t ≤ 2
( t , sin(2t ) , sin(t) ) -2π ≤ t ≤ 2π
( t , sin(2t) , t^3 ) -π ≤ t ≤ π
( t-sin(t) , t cos(4 t ) , t+sin(4 t) ) -2π ≤ t ≤ 2π
Ha egy görbének van olyan pontja, amelyre középpontosan szimmetrikus, akkor ebben a szimmetriacentrumban nem áll elő kísérő triéder, így simulókör sem.
Az itt leírt térgörbék centrálisan szimmetrikusak az origóra. (Az utolsó, már eléggé kacifántos. J
Csúszkával szinte lehetetlen beállítani a P(0) pontot, viszont ha a Mozgó pont jelölőnégyzetet ki, majd
bekapcsoljuk, t aktuális értéke a csúszka végpontjainak a számtani közepe lesz, a fenti esetekben t=0.
Simulókörök az ellipszis tengelypontjaiban
Az ellipszis kistengelyének a végpontjához tartozó simulókör tartalmazza az ellipszist, a nagytengely végpontjába tartozót az ellipszislap tartalmazza. Ezek a simulókörök mind szerkesztéssel, mind számolással könnyen meghatározhatók.
Itt jegyezzük meg, hogy amikor még a számítógép nem segített a (műszaki)rajzok készítésében, az ellipszis minél pontosabb megrajzolásához nagy segítséget nyújtottak a tengelyek végpontjaihoz tartozó simulókörök.