Tangenten von Ellipse, Hyperbel und Parabel

Ellipse und Hyperbel

Wichtige Begriffe: A,A'....Hauptscheitel ( Strecke AA'......Hauptachse) B,B'.... Nebenscheitel ( Strecke BB'......Nebenachse) F,F' ......Brennpunkte M.....Mittelpunkt a....Halbachsenlänge der Hauptachse MA bzw. MA' b....Halbachsenlänge der Nebenachse MB bzw. MB' e.....Brennweite ( lineare Exzentrität) MF bzw. MF'

Gleichungen der Ellipse

Ellipse in 1. Hauptlage : b²x² + a²y² = a²b² Ellipse in 2. Hauptlage: a²x² + b²y²= a²b² Für die Ellipse gilt: e² = a² - b²

Gleichungen der Hyperbel

Hyperbel in 1. Hauptlage : b²x² - a²y² = a²b² mit der Asymtote y = -

und y =

x Hyperbel in 2. Hauptlage: -a²x² + b²y²= a²b² oder b²y² - a²x² = a²b² Für die Hyperbel gilt : e² = a² + b²

Gleichungen der Parabel

Gerade l ................Leitlinie F.....Brennpunkt mit F p.......Parameter ( = Abstand zw. Leitlinie l und dem Brennpunkt F A....Scheitel Gerade AF ..........Parabelachse Parabel in 1. Hauptlage : y² = 2px mit F (

/ 0) Parabel in 2. Hauptlage: x² = 2py mit F (0 /

Gegeben ist die Ellipse ell: x² + 5y² = 29. Von einem Punkt P der Ellipse kennt man die x-Koordinate p₁ mit P ( 3/ p₂). a) Ermittle die y-Koordinate(n) p₂ von P. b) Gib die Gleichung der Tangente an die Ellipse in P an. ( Spaltform: t : b²p₁x + a²p₂y = a²b² ) Tipp: Verwende Toolbar Image Kreuze die beiden zutreffende Aussagen an.

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A
Die Punkte P( 3 /2 ) und Q (3/-2) liegen auf der gegebenen Ellipse.
B
Die Tangente im Punkt P (3/2) hat die Gleichung t: 3x + 10y + 29 = 0.
C
t: 3x + 10y = 29 ist eine Tangente im Punkt (3/2)

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Gegeben ist die Hyperbel hyp: 4x² - 3y² = 24 und der Punkt Q ( 4/4). a) Ermittle die Gleichungen der Tangenten an die Hyperbel hyp aus dem Punkt Q. Tipp: Toolbar Image b) Ermittle die Koordinaten der Berührpunkte dieser Tangenten mit der Hyperbel. Tipp: Kreuze zutreffende Aussagen an.

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A
Die Tangente t : 5x + 6y = 4 berührt die Hyperbel im Punkt T ( 10/9).
B
Die Tangente t : y = 2x - 4 und die Hyperbel haben den Punkt T(3/2) gemeinsam.
C
( 9/10) und ( 3/2) sind die Koordinaten der gesuchten Berührpunkte.
D
t: 6x - 5y = 4 ist die Gleichung einer Tangente aus Q an der Hyperbel.

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Gegeben ist die Parabel par: y² = 10x und die Gerade g: X = (1/2) + t (4/1). a) Ermittle die Gleichungen der zu der Geraden g parallelen Tangente an die Parabel Tipp: Toolbar Image b) Ermittle die Koordinaten der Berührpunkte dieser Tangente mit der Parabel. Tipp: Kreuze zutreffende Aussagen an.

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A
Die Tangente hat die Gleichung t: y = -0,25x + 10
B
Der Berührpunkt T hat die Koordinaten ( 20/40)
C
t: x - 4y = -40 ist die Gleichung der Tangente an die Parabel.
D
Der Berührpunkt liegt bei ( 40/20).

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