Umkehrfunktionen
- Autor:
- Danijela Grabez-Pracht
- Thema:
- Graph
Einleitung
Im Folgenden wird die Darstellung von Umkehrfunktonen erläutert.
Definition Umkehrfunktion:
Wenn f: A -> B eine reelle Funktion ist, bei der jeder Funktionswert f(x) genau einem Argument x zugeordnet werden kann,
dann nennt man die Funktion f*: B -> A die Umkehrfunktion von f.
Grundsätzlich gibt es 3 Möglichkeiten Umkehrfunktionen in Geogebra darzustellen:
1. Bei Kennen der Umkehrfunktion, Eingabe dieser
2. Spiegelung an der ersten Mediane
3. Verwendung der "Invertiere" - Funktion
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Das erste Beispiel zeigt eine Exponentialfunktion. Die dazugehörige Umkehrfunktion wurde durch Spiegelung an der ersten Mediane erstellt.
Exponentialfunktion
Anmerkungen zu Spiegelung an 1. Mediane:
Erstellung der 1. Mediane durch Zeichnen einer Gerade oder Eingabe der Funktion f(x)=x
Bei der Spielung an der 1. Mediane erstellt Geogebra die Umkehrfuktion im Algebra-Fenster in Parameterdarstellung.
Bei einer Änderung der Parameter a und c der Exponentialfunktion mithilfe der Schieberegler, passt sich die Spiegelung der Funktion entsprechend an.
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Das zweite Beispiel zeigt eine Quadratische Funktion (D = R+). Ihre Umkehrfunktion, eine Wurzelfunktion, wurde direkt eingegeben und durch Spiegelung an der ersten Mediane erstellt. Durch Ein- und Ausblenden beider kann man sehen, dass sie identisch sind.
Quadratische Funktion - Wurzelfunktion
Bei Eingabe der Quadratischen Funktion f(x)=x^2 ist auf die Einschränkung des Definitionsbereiches auf R+ zu achten, um eine umkehrbare, bijektive Teilfunktion zu erhalten.
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Das dritte Beispiel zeigt die Erstellung einer Umkehrfunktion anhand einer linearen Funktion, mit Hilfe des "invertiere - Befehls".
Lineare Funktion
Anmerkungen zu "Invertiere-Funktion":
Hier erfolgt die Darstellung der Umkehrfunktion im Algebra-Fenster durch Vertauschen der x- und y-Koordinaten.
Dies stellt sich übersichtlicher dar als die Parameterdarstellung, die ber Spiegelung an der ersten Mediane entsteht.
Bei Veränderung der Parameter k und d passt sich die invertierte Funktion entsprechend an.
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Abschließend sind die trigonometrischen Funktionen Sinus, Cosinus und Tanges mit ihren Umkehrfunktionen dargestellt.