Eukleidés I.5 (Rovnoramenný trojúhelník - úhly u základny)
Heath:
In isosceles triangles the angles at the base equal one another, and, if the equal straight lines are produced further, then the angles under the base equal one another.
viz
Servít:
V trojúhelnících rovnoramenných úhly při základně jsou si rovny, a prodlouží-li se stejné úsečky (ramena), úhly pod základnou budou si rovny.
Školská formulace:
Je-li trojúhelník rovnoramenný, potom platí:
a) vnitřní úhly u základny jsou shodné
b) vnější úhly u základny jsou shodné
Obrázková formulace:
Důkaz:
1. Nechť trojúhelník ABC je rovnoramenný a rameno AB je rovno ramenu AC. (I.Def.20).
2. Prodlužme úsečky AB a AC o úsečky BD a CE. (I.Post.2). Pravím, že ABC = ACB a CBD = BCE.
3. Vezměme na BD kterýkoli bod F a od delšího AE odřízněme AG rovné menšímu AF. (I.3)
4. Veďme úsečky GC, GB. (I.Post.1)
5. Trojúhelníky AFC a AGC se shodují ve dvou stranách (AF = AG a AB = AC) a v úhlu BAC jimi sevřeném. Proto jsou shodné (věta sus – I.4)
6. Z toho plyne, že se shodují i ve zbylé straně – tedy FC = GB.
7. Dále z toho plyne, že se shodují i v ostatních dvou úhlech – tedy AFC = AGB a ABG = ACF.
8. Jelikož celé AF je rovno celému AG, z čehož AB = AC, zbytek tedy BF = CG. (Axiom 3)
9. Trojúhelníky BFC a CGB se shodují ve dvou stranách (BF = CG a FC = GB) a v úhlech jimi sevřených (AFC = AGB). Proto jsou shodné (věta sus – I.4).
10. Z toho plyne, že se shodují i v úhlech FBC a GCB. Tedy vnější úhly u základny BC jsou shodné, čímž je dokázána druhá část tvrzení.
11. Dále z toho plyne, že se shodují i v úhlech GBC a FCB.
12. Jelikož celý úhel ABG je roven úhlu ACF a části GBC a FCB jsou si rovny, musí se rovnat i zbytky, tedy ABC = ACB (Axiom 3). Vnitřní úhly u základny BC jsou tedy shodné, čímž je dokázána i první část tvrzení.