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4次の対称群と交代群

交代群A4は遇置換全体でS4の正規部分群。置換の結果と行列は自然に対応している。

遇置換(交代群)の求め方

交代群を見つけるために、最初は対称な行列を探していた。 元が8つまでの部分群は見つかったけど、元12個の部分群は見つからない。 そこで4次の置換群を書き出して表を作ってみた。 すると、置換した結果を見ていると行列と対応するのではないかと思い付き、確かめてみた。 ぴったり一致。(ただし積は上×左) つまり、置換の結果をそのまま行列にするだけだった。 1324は1列目1行、2列目3行、3列目2行、4列目4行と考えれば自然に対応ができる。 遇置換は行列の上ではあまり対称ではないけれど、 4次方程式が解けるのは、√をとった式が交代群で不変。 次に3乗根をとった式がクラインの四元群で不変。 ということになる。 交代群A4はS4の正規部分群で、クラインの4元群はA4の正規部分群となっている。

4次の交代群とその正規部分群

クラインの4元群

S4の部分群

位数  同値関係(共役)での代表元  共役な部分群の個数  1   { e }                  1  2   { e , (12) }               6      { e , (12)(34) }             3  3     { e , (123) , (132) }           4  4     { e , (1324) , (12)(34) , (1423) }      3      { e , (12) , (34) , (12)(34) }        3      { e , (12)(34) , (13)(24) , (14)(23) }    1  6   文字 4 を動かさない置換         4  8   {(12), (1324) }             3   12   A4                                                    1   24   S4                 1                      計 30