Bewijs voor de som van veelhoeken

geheel is som van de delen

Een roosterveelhoek A is opgesplitst in twee roosterveelhoeken B en C. De som van de oppervlakten van deze twee veelhoeken is uiteraard gelijk aan de oppervlakte van de grote veelhoek. Maar hoe zit het met de Pickgetallen van B en C?
Image

benamingen

  • Het aantal inwendige punten van A, B en C noemen we iA, iB en iC.
  • Het aantal randpunten van A, B en C noemen we rA, rB en rC.
  • Het aantal randpunten dat B en C gemeenschappelijk hebben, noemen we k.
  • Tenslotte zijn er de twee punten S en T, randpunten van zowel A, B als C.

De oppervlakte van veelhoek A volgens Pick

  • De inwendige punten van A zijn deze van B en C + de randpunten van B en C behalve S en T. symbolisch: iA = iB + iC + (k - 2).
  • De randpunten van A zijn deze van B die geen randpunt zijn van C + deze van C die geen randpunt zijn van B + S en T. symbolisch: rA = (rB - k) + (rC - k) + 2 = rB + rC - 2k + 2
Met deze uitdrukkingen schrijven we de oppervlakte van A als: PickA = iA + rA/2 - 1 PickA = (iB + iC + (k - 2)) + (rB + rC - 2k + 2)/2 - 1 PickA = iB + iC + k - 2 + rB/2 + rC/2 - k + 1 - 1 PickA = iB + rB/2 - 1 + iC + rC/2 - 1 ( + 1 - 1) PickA = PickB + PickC