Fractions continues et demi-plan de Poincaré, Partie 2
- Auteur :
- Ole
- Thème :
- Fractions
Partie 2 d'un exposé sur les liens entre l'algorithme des fractions continues, les cercles (ou plutôt horocycles) de Ford et le demi-plan de Poincaré
On découvre avec cette deuxième figure:
- qu'une partie de la baderne d'Apollonius, exclusivement formée d'horocycles, entretient des liens privilégiés avec le développement en fraction continue d'un rationnel;
- que sont en jeu des isométries du demi-plan de Poincaré, qui envoie le complexe i sur un point S qui chemine sur une ligne connexe par arcs horocycliques, plus précisément par arcs d'horocycles de Ford; remarquons que si nous avions choisi de prendre l'autre développement montré dans la première partie ( http://tube.geogebra.org/student/mWM9zy7ZV ), nous travaillerions non pas avec ce point S, mais avec le point T montré ici.
- Enfin, outre S et T, on met en évidence un troisième point, P, point de bifurcation. Ces trois points forment la pointe d'un "phylactère" dont l'unique point idéal est le rationnel a/b dont on étudie le développement. Ce phylactère peut participer d'un pavage du demi-plan de Poincaré, voir
https://vimeo.com/geometrynteractivideo/interpretation-geometrie-hyperbolique-algo-fractions-continues
Partie 3: http://tube.geogebra.org/m/t1weh15s