Via con le tangenti ! (ad aˣ, a logₐ(x)... e in ogni x)

Autore:
Gae Spes
Cominciamo con l'osservare che la funzione exp introdotta precedentemente (ossia la funzione esponenziale avente per base il numero di Nepero, quindi y=ex) ha una importante proprietà: in ogni ascissa x=t ha come velocità proprio exp(t), ossia l'altezza e la velocità nel punto avente tale altezza coincidono. (vedi figura 2) Per vedere ciò basta notare alcuni fatti cruciali: ( fa' riferimento al foglio Trasformazioni fondamentali su una funzione esponenziale ) La velocità di crescita in x=t di exp non è altro che la velocità in x=0 della funzione traslata orizzontalmente g(x)=exp(x+t) ottenuta da exp per traslazione a sinistra di spostamento t. La funzione g(x) = exp(x+t) = ex+t = ex·et = et·exp(x) = k·exp(x) è ottenuta per stiramento verticale da exp con moltiplicatore verticale k=et. La funzione g(x)=k·exp(x) e la sua retta r' tangente in (0,g(1)) sono ricavate per stiramento verticale da exp e dalla sua tangente r in (0,1), che è y=1+x, pertanto la retta r' ha equazione y=r'(x)=k·r(x)=(1+x)=k+x. Quindi la tangente in (t,exp(t)) a exp coincide con la tangente nel punto di ascissa 0 di g(x), che è y=k+x=et +et ·x, che ha appunto pendenza et . Tale retta passa sempre (ossia per ogni valore dato a t) per il punto (-1,0), per cui la pendenza è visualizzata dal triangolo giallo.

figura 1

Per trovare le rette tangenti a tutte le altre funzioni esponenziali in loro punti basta osservare che la generica funzione f(x)=ax è ottenuta come stiramento orizzontale f(x)=exp(m·x) da exp (e ricorda che tale m è il logaritmo naturale di a), per cui la retta tangente in (t,exp(t)) - che è ha pendenza exp(t) e passa appunto per (t,exp(t)), e quindi ha equazione y=exp(t)·(x-t)+exp(t) - diventa, con tale stiramento orizzontale, che la porta a diventare y=exp(t)·(mx-t)+exp(t), la tangente a f(x) nel punto in cui tale stiramento porta (t,exp(t)), che è ( t/m , exp(t) ). Tale ultima retta ha pendenza m·exp(t). Quindi la pendenza in x0=t/m della retta tangente a f(x) è: m·exp(t) = ln(a)·exp(m·x0) = ln(a)·f(x0) = ln(a)·ax0. Per quanto riguarda la determinazione delle rette tangenti alla funzione inversa di f(x)=ax, che è detta "logaritmo in base a" ed è indicata con loga , possiamo osservare che il punto di ascissa x0 della funzione g(x)=loga(x) è ( x0 , loga(x0) ) e tale punto è simmetrico rispetto alla bisettrice principale - ovvero la retta y=x - del punto ( loga(x0) , x0 ) che sta sulla funzione f. In tale ultimo punto la funzione f ha retta tangente di pendenza (come stabilito poco sopra): ln(a) · f( loga(x0) ) = ln(a)·x0 . Ora osserva che due rette tra di loro simmetriche rispetto alla bisettrice principale (rette "inverse") hanno pendenze inverse (pensa alle formule y=m·x+q e x=m·y+q e al fatto che quest'ultima non è altro che y=(x-q)/m=(1/m)·x - q/m ), per cui la retta tangente a g in ( x0 , loga(x0) ) ha pendenza inversa della retta tangente a in ( loga(x0) , x0 ), quindi ha pendenza inversa del numero ln(a)·x0 . Quindi la retta tangente a loga(x) nel punto x=x0 ha pendenza: .

figura 2