Abstand windschiefer Geraden
Auf dem Weg zu einer Formel
Beispielaufgabe
und mit
Zur Lösung errichte ich eine Ebene E1 aus einer Geraden, ergänzt um den Richtungsvektor der anderen Geraden. Die Ebene E1 stelle ich in der Hesse'schen Normalengleichung dar. Den Abstand erhalte ich durch Einsetzen eines Punktes (der Einfachkeit halber den Ortsvektor) der anderen Geraden.
Formel Abstand windschiefer Geraden
Alle Aufgabenschritte mit Erklärungen
Alternativen
(1) Beschreibe Gerade g_1(t):=(4, 5, 3) + t (1, 2, 1)
(2) Beschreibe Gerade g_2(l):=(1,-2,2)+l*(-1,2,0)
(3) Verwende die Geradenfunktionen zur Darstellung der Richtungsvektoren
(4) r1 g1: r_1:=g_1(1)-g_1(0)
(5) r2 g2: r_2:=g_2(1)-g_2(0) sowie des
(6) Ortsvektors O1 g1: O_1:=g_1(0)
(7) Bestimme Normalenvektor zu beiden Geraden n:=(Kreuzprodukt(r_1,r_2))
Vektorkette
Gehe vom einen Punkt P1 g1 mit n senkrecht auf einen P2 g2.
P1 = g1(t1), P2 = g2(t2)
(8) g_1(t1) + t*n = g_2(t2)
(9) Löse[{$8},{t1, t, t2}]
(10) Lotvektor:=Ersetze[ t n , $9 ]
(11) d=sqrt(Lotvektor²)
Senkrechte Ebenen
Errichte E1 senkrechte Ebene zu g1 und E2 senkrechte Ebene zu g2
Schnittpunkt P1 von E2 x g1 und Schnittpunkt P2 von E1 x g2 sind Lotpunkte
(8) E1(x,y,z):=Kreuzprodukt[n, r_1]*((x,y,z) - g_1(0))
(9) E2(x,y,z):=Kreuzprodukt[n, r_2]*((x,y,z) - g_2(0))
evtl Ebenen zeichnen E_1:=E1(x,y,z)=0 und E_2:=E2(x,y,z)=0
(10) P_1:=Ersetze(g_1(t) , Löse(E2(x(g_1(t)) , y(g_1(t)) , z(g_1(t)) ) , t ) )
(11) P_2:=Ersetze(g_2(t) , Löse(E1(x(g_2(t)) , y(g_2(t)) , z(g_2(t)) ) , t ) )
(12) d=sqrt((P_1-P_2)^2)