Derivata.
Il limite del rapporto incrementale
Data una funzione , che per comodità sia definita e continua su tutto , considero il suo rapporto incrementale relativo al punto e all'incremento .
.
Se viene fissato il punto , il valore del rapporto incrementale dipende dall'incremento .
Possiamo far variare l'incremento rendendolo piccolo a piacere, cioè considerare .
Osserviamo che in tal caso tendono a 0 sia l'incremento della variabile indipendente () che quello della variabile dipendente () perciò, nel momento in cui , il rapporto incrementale risulta non definito (la frazione che si ottiene è indeterminata).
La derivata
L'approccio che si può prendere in considerazione è quello dell'analisi: piuttosto che considerare il valore del rapporto incrementale per , si considera il passaggio al limite. In questo modo la forma diventa una forma di indecisione, che può essere risolta.
Definizione:
Data una funzione definita e continua nel punto , si dice derivata della funzione nel punto il limite (se esiste ed è finito) per del rapporto incrementale della funzione relativo al punto , e si scrive:
Significato grafico
La derivata della funzione in un suo punto è il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel punto .