Zwei Züge - Längenkontraktion und Zeitdilatation
Zwei Züge (A und B) sollen in ihrem Ruhezustand komplett gleich lang
sein.
Die Länge der Züge beträgt im Ruhezustand 2*sqrt(3)=3.4641 Ls.
Jeder Zug hat sowohl in der Lok (AL, BL) als auch am Ende (AE, BE)
jeweils eine Atomuhr und einen Beobachter.
Die Züge bewegen sich derart relativ zueinander, dass die
Zeitdilatation/Längenkontraktion genau den Faktor 2 bzw. 0,5 ergibt.
Das tritt auf bei einer Relativgeschwindigkeit von sqrt(3)/2 c = 0,866c
zueinander.
In Ruhezustand sieht es so aus:
Zug A:
AE▓▓▓▓▓▓▓▓▓AL bewegt sich in diese Richtung --->
Zug B bewegt sich auf Zug A zu in diese Richtung <--- BL▓▓▓▓▓▓▓▓▓BE
Beide Uhren von Zug A wurden synchronisiert. Beide Uhren von Zug B
ebenfalls.
Kein Inertialsystem ist ausgezeichnet, also müsste man beide Züge
austauschen können und in beiden Zügen muss jeweils das selbe Ergebnis
auftreten.
Beim Zusammentreffen der Zugloks AL/BL kann jeweils die Uhr in der
anderen Lok beobachtet (und somit synchronisiert) werden.
Wir gehen davon aus, dass die Uhrzeit bei beiden Uhren zum Zeitpunkt
AL/BL t=t'=0 beträgt.
In jedem symmetrisch auswechselbaren Zustand beider Züge
muss das gleiche Ergebnis auftreten, das heißt, wenn beide Enden AL/BL
zusammentreffen,
muss dort ebenfalls in beiden Zügen die gleiche Uhrzeit aufscheinen.
In der obigen Geogebra-Animation wird die Situation aus Sicht des Zuges B
betrachtet.
Die rote Zeitlinie ist die Zeit des Zuges B. Die blaue Zeitlinie zeigt
die Uhrzeit im Zug A an.
Die Uhren im Zug A sind synchronisiert, allerdings sieht ein Beobachter
im Zug B Uhrzeiten, die nicht synchronisiert sind, da aufgrund der
relativen Bewegung zueinander die Gleichzeitigkeit aufgelöst ist.
Da die Längenkontraktion und Zeitdilatation reziprok sind, müssen beim
Zusammentreffen AL/BL sowie beim Zusammentreffen von AE/BE die Uhrzeiten
in beiden Systemen gleich sein. Dies ist auch der Fall (Zeitpunkte 0
und Zeitpunkte 6)
Weiters müssen beim Zusammentreffen von AE/BL und AL/BE die Ergebnisse
symmetrisch sein, was auch zutrifft:
..▓▓▓AL -> (t'=0)
<- BL▓▓▓.. (t=0)
AE▓▓▓▓▓... -> (t'=4)
<--- BL▓▓▓... (t=2)
..▓▓▓▓AL -> (t'=2)
<- ▓▓▓BE (t=4)
AE▓▓▓▓▓.. ->(t'=6)
<-..▓▓▓BE (t=6)
Interessant ist, dass beim Beobachten der Uhren im bewegten System A
zwar jede Uhr für sich halb so schnell läuft (bei t=2 ist es für AL erst
t'=1 -> Zeitdilatation mit Faktor 0.5), aber dass die gerade
vorbeisausenden Uhren jedoch Zeiten anzeigen, die schon weiter in der
Zukunft sind, daher scheinbar doppelt so schnell "laufen", was aber
nicht stimmt. Bei t=2 (BL) zeigt die vorbeisausende Uhr AE bereits t'=4
an. Der Effekt tritt dadurch auf, dass für den Beobachter im Zug B die
Uhren von Zug A nicht synchron laufen. Aus Sicht von Zug B zeigt die Uhr
in AE immer eine Zeit an, die 3 Sekunden später ist als in AL. Im Zug A
aber sind für einen Beobachter alle Uhren in seinem Zug synchron.
Also: Befindet sich der Beobachter im System B, so laufen für ihn die
Uhren von System A halb so schnell, die Länge von Zug A wird halb so
lang wie Zug B gemessen.
Wie sieht dies bei "Uhrreihen" aus, also mehrerer Uhren in einem Zug?
Jeweils äquivalente Zuguhren (dh. an gleicher Position) zeigen beim
Aufeinandertreffen dieselbe Zeit an, auch bei einer Uhrenreihe.
Nach dem Aufeinandertreffen zeigt dann die jeweils im anderen Zug
beobachtete Uhr eine frühere Zeit.
Vor dem Aufeinandertreffen zweier äquivalenter Uhren zeigt die im
anderen Zug gerade vorbeifliegende Uhr eine spätere Zeit als die eigene
an. Die Zeit im eigenen System vergeht ja schneller und holt die Uhrzeit
im anderen Zug ein.
Und genau in dem Augenblick wo eine Uhr auf das Pendant im anderen Zug
stößt (Lok auf Lok, Mitte auf Mitte, Ende auf Ende), da zeigen beide die
gleiche Zeit an.
In der Animation kann man auch noch ein Photon beobachten, welches sich
mit v=c fortbewegt.
Da die Sachlage völlig symmetrisch ist, können Zug A und Zug B
ausgetauscht werden.
