Circunferencia pasando por dos puntos y tangente a recta (Geom. analítica)
"Encuentre la ecuación de una circunferencia que pasa por P y Q y es tangente a la recta r."
El centro debe estar en la mediatriz del segmento PQ y en las parábolas que tienen a r como directriz y a P y Q como focos. Basta considerar la intersección de una de ellas con la mediatriz para hallar los centros. Las distancias de estos a r, a P o a Q son los respectivos radios.
Se trata de un problema cuadrático, resoluble solo con ecuaciones de 2º grado. Y por tanto, también con regla y compás. Se trata de uno de los diez problemas de Apolonio de determinación de una circunferencia mediante tres puntos/rectas/circunferencias por los que pasa o a los que es tangente. En este caso dos puntos y una tangente.
Hay dos soluciones si ambos puntos están en uno de los semiplanos determinados por r y el segmento PQ, a menos que este sea paralelo a la recta, que el problema degenera en lineal y hay una sola solución.
Hay una solución si uno de los puntos está en la recta, coincidiendo con el de tangencia, y el otro no.
Y no hay soluciones si ambos puntos están en la recta o en distinto semiplano.