Triangulos equiláteros a partir de hexágonos cualesquiera
Se tienen seis puntos en el plano A0, A1, A2, A3, A4 y A5, dados en orden.
A partir de cada par de puntos consecutivos (Ak, Ak+1) se construye un triángulo equilátero TAk = (Ak, Ak+1, Bk), de manera que sus vértices se recorren siempre en el mismo sentido, por ejemplo negativo. Sean Ok los centros de estos triángulos.
De forma similar, se construyen los triángulos equiláteros TBk = (Bk, Bk+1, Ck), con el mismo sentido que los anteriores, cuyos centros serán los puntos Qk.
Se consideran los triángulos TO = (O0.3, O1.4, O2.5) y TQ = (Q0.3, Q1.4, Q2.5), donde Ok.k+3 es el punto medio de Ok y Ok+3, y Qk.k+3 es el punto medio de Qk y Qk+3
Estos triángulos son equiláteros, su centro es el baricentro G de los Ak, y TQ es homotético con razón -2 de TO respecto a G.
(Problema 1319 de GoGeometry)
La demostración es directa utilizando números complejos para representar los puntos, aunque algo "aparatosa": GoGeometry1319.pdf
Si se siguen construyendo sucesivas capas de triángulos equiláteros, los triángulos formados por los puntos medios de los segmentos que unen los centros de triángulos opuestos forman igualmente un triángulo equilátero, homotético del de la capa anterior con razón -2 respecto a G.
En el dibujo tenemos tres capas de estos triángulos. Se pueden añadir más, haciendo zoom y utilizando la herramienta 'Polígono regular' de la barra superior. Para hallar el centro de un triángulo equilátero, se puede trazar la circunferencia que pasa por sus tres vértices, penúltima herramienta, y luego hallar el punto medio de esta, con la última herramienta. ësta también halla el punto medio de dos puntos.
También se puede hallar el centro de un triángulo equilátrero, hallando la media de los tres vértices en la línea de entrada, al tiempo que se le puede dar un nombre.
Por ejemplo: S0 = (D0 + D1 + E0)/3, suponiendo que primero se ha creado el punto E0.