Die Definition am Einheitskreis
- Autor:
- Florian Rudolph
- Thema:
- Einheitskreis
Sinus, Cosinus und Tangens können auch mit Hilfe des "Einheitskreises" (also NICHT mit Hilfe von rechtwinkligen Dreiecken!) definiert werden.
Der Einheitskreis ist ein Kreis mit Radius 1 (siehe unten).
Wir wollen zuerst überlegen, ob auch unsere alte Definition im Einheitskreis zu finden ist:
Stellen Sie mit Hilfe des Schiebereglers für den Winkel einen beliebigen Wert zwischen 0° und 90° ein und formulieren Sie nun auf ihrem Arbeitsblatt möglichst einfach, wie der Sinus bzw. der Cosinus des Winkels definiert ist.
Hinweise:
Verwenden sie statt Gegenkathete den Begriff "Orangene Strecke", statt Ankathete den Begriff "Blaue Strecke" etc.
Beachten Sie: der Radius des Einheitskreises ist 1! Dadurch vereinfachen sich die Definitionen enorm!
Sie sollten nun Erkannt haben: Will man den Wert des Sinus (bzw. Cosinus) eines Winkels herausfinden, so kann man ihn in den Einheitskreis einzeichnen. Dabei entsteht ein Schnittpunkt mit dem Einheitskreis und durch diesen die orangene und die blaue Strecke. Der Sinus entspricht dann einfach der Länge der orangenen Strecke und der Cosinus der Länge der blauen Strecke.
Dadurch können wir eine neue Definition vornehmen: (Lassen Sie sich oben die Hilfslinie einzeichnen!)
Um den Sinus- bzw. Cosinus-Wert eines Winkels zu definieren zeichnet man diesen in den Einheitskreis ein. Der erste Schenkel des Winkels soll die x-Achse sein und der Scheitel des Winkels soll im Ursprung liegen. Durch den zweiten Schenkel entsteht ein Schnittpunkt mit dem Einheitskreis.
Dann ist der Sinus des Winkels der Wert der y-Koordinate dieses Schnittpunktes und der Cosinus des Winkels ist der Wert der x-Koordinate dieses Schnittpunktes.
Schreiben Sie diese Definition inklusive einer Skizze auf ihr Arbeitsblatt!