Rechnerische Lösung

Autor:
eckerts
Was dich hier erwartet, ist nicht ganz einfach und braucht ein bisschen Durchhaltevermögen. Wenn es dir zu kompliziert ist, kannst du es auch weglassen bzw. in deinem Mathe-Buch nach einfacheren Anwendungsaufgaben schauen. Aber nur Mut: Es ist alles schön ausführlich erklärt und vorgerechnet.

Welche Größe soll maximal bzw. minimal werden?

Die Dose soll möglichst wenig Blech verbrauchen, also muss die Oberfläche minimiert werden. Wir werden also versuchen eine Funktion für die Oberfläche aufzustellen und dann bestimmen wir das Minimum (d.h. den Tiefpunkt) dieser Funktion. Soweit die Grundidee.

Wovon hängt die Funktion ab?

Wir haben ja eine Formel für die Oberfläche eines Zylinders: . Wenn wir diese Oberfläche als Funktion betrachten, dann hängt sie leider von zwei Variablen ab, nämlich von Radius und Höhe. So eine "zweidimensionale" Funktion bekommen wir aber leider nicht in den Griff. Diese Gleichung nennt man in solchen Aufgaben Hauptbedingung.

Eine Variable muss raus!

Du kennst das von den linearen Gleichungssystemen: Wenn man zwei Gleichungen mit zwei Variablen hat, kann man durch Auflösen und Einsetzen eine Variable rauswerfen (Einsetzungsverfahren). Das machen wir hier genauso. Nur brauchen wir erst mal eine zweite Gleichung mit r und h. Aber woher nehmen und nicht stehlen? Jede Info aus der Aufgabenstellung kann uns eine Gleichung geben: Da stand doch noch was von einem Liter... Das Volumen sollte einen Liter, sprich 1000 cm3 betragen. Das liefert uns die gewünschte zweite Gleichung: . Man nennt sie auch Nebenbedingung. Wir lösen sie nach einer der beiden Variablen auf (hier ist h rechnerisch einfacher): . Jetzt setzen wir das in die erste Gleichung ein und vereinfachen: Nun hängt die Oberfläche also nur noch von r ab und wir können sie als Funktion schreiben: . Diese Funktion nennt man in solchen Aufgaben die Zielfunktion.

Minimum bestimmen

Jetzt muss eigentlich nur noch der Tiefpunkt dieser Funktion bestimmt werden und wie das geht, weißt du schon. Ein kleines Problem gibt es allerdings noch: Der Bruch in der Funktion, der hässlicherweiße auch noch die Variable im Nenner stehen hat. Wie leitet man sowas ab? Das ist nicht schwer: Wir schreiben den Bruch in eine negative Potenz um. Sicher kennst du noch den Zusammenhang oder allgemein . Dann ist also bzw. in unserem Fall . Und so was können wir mit unseren Ableitungsregeln mit ein bisschen Vorsicht bewältigen: (alter Exponent als Vorfaktor, neuer Exponent eins kleiner) Und wieder in Bruchschreibweise: Und das setzen wir jetzt Null, um Kandidaten für den gesuchten Tiefpunkt zu finden: | | | : | So, nun kennen wir also schon den Radius. Wir prüfen durch Einsetzen von z. B. 5 und 6 in die Ableitung noch, ob es wirklich ein Tiefpunkt (und nicht vielleicht ein Sattel- oder Hochpunkt) ist: und . Mit diesem Vorzeichenwechsel von - nach + hat die Funktion tatsächlich ein Minimum bei r=5,4. Und da es nur diesen einen Tiefpunkt (und nicht auch noch Hochpunkte) gibt, muss an dieser Stelle auch der absolut kleinste Funktionswert des ganzen Definitionsbereichs der Funktion erreicht sein, also der kleinstmögliche Oberflächeninhalt. Jetzt fehlt uns nur noch die zugehörige Höhe. Wie wir die kriegen steht aber bereits in der aufgelösten Nebenbedingung oben. Dort setzen wir unser Ergebnis für r einfach ein:

Ergebnis

Der Zylinder mit Radius 5,4 cm und Höhe 10,9 cm hat den kleinsten Blechverbrauch aller möglichen 1-Liter-Dosen. Das dürfte einen Betriebswirtschaftler in einer Dosenfabrik doch brennend interessieren.