De standaardnormale verdeling

De grafische betekenis van het gemiddelde en de standaarafwijking

Onderstaand zie je de grafiek van de normale verdeling. Probeer eerst en vooral te spelen met de parameters en . Hoe verandert de grafiek onder invloed van deze parameters?

Als het gemiddelde kleiner wordt en de standaardafwijking blijft gelijk dan...

Vink alles aan wat van toepassing is

Als het gemiddelde groter wordt en de standaardafwijking blijft gelijk dan...

Vink alles aan wat van toepassing is

Als de standaardafwijking groter wordt en het gemiddelde blijft gelijk dan...

Vink alles aan wat van toepassing is

Als de standaardafwijking kleiner wordt en het gemiddelde blijft gelijk dan...

Vink alles aan wat van toepassing is

De standaardnormale dichtheidsfunctie

Op een verschuiving volgens de x-as en een eventuele uitrekking volgens de assen na, hebben alle normale verdelingen dezelfde vorm. Bij bepaalde berekeningen herleidt men trouwens de waarnemingen van de normale verdeling met gemiddelde en standaardafwijking  naar de standaardnormale verdeling met gemiddelde 0 en standaardafwijking 1. Deze omzetting wordt standaardisering genoemd. Om een waarde te standaardiseren wordt de verwachting ervan afgetrokken en vervolgens gedeeld door de standaardafwijking.

De Z-score

Als een waarneming is uit  dan is de gestandaardiseerde waarde van met

Een gestandaardiseerde waarde wordt ook wel een z-score genoemd. Een z-score geeft aan hoeveel standaardafwijkingen de oorspronkelijke waarneming van het gemiddelde verwijderd is en in welke richting. Waarnemingen groter dan het gemiddelde geven een positieve z-score, waarnemingen die kleiner zijn dan het gemiddelde geven een negatieve z-score. Z-scores worden onder meer gebruikt om waarnemingen uit verschillende populaties en/of steekproeven met elkaar te vergelijken. Voorbeeld Leila zit in de 6LWi bij meester Moons en behaalde op zijn laatste toets wiskunde 14 op 20. Het klasgemiddelde was 11 met standaardafwijking 3. Sacha, de tweelingsbroek, zit in de 6LMT en behaalde op zijn laatste toets 23 op 30. Het klasgemiddelde was 19 met een standaardafwijking van 5. Wie heeft er nu relatief gezien het beste gewerkt?
  • de z-score van Leila is: 
  • de z-score van Sacha is:
Antwoord: , dus het resultaat van Leila is relatief gezien beter. Zij is exact 1 standaardafwijking beter dan het gemiddelde klasresultaat, Sacha is 'slechts' 0,8 standaardafwijkingen beter dan het gemiddelde klasresultata.