Théorème japonais de Carnot - Démonstration
ABC est un triangle, son cercle circonscrit de centre O et de rayon R et son cercle inscrit de centre I et de rayon r.
Cas particulier où le triangle ABC a tous ses angles aigus.
Les projetés orthogonaux de O sur les côtés [BC], [AC] et [AB] sont .
Les distances signées du centre O aux côtés du triangle sont notées par .
La somme des distances signées du centre O aux côtés du triangle est donnée par .
Démonstration
Calcul de l'aire S de ABC
La décomposition en trois triangles IAB, IBC et ICA autour de I donne la formule des aires
.
De même en décomposant trois triangles OAB, OBC et OCA autour de O on a
Soit
Calculs dans des triangles semblables déterminés par les hauteurs
En abaissant les hauteurs , , et , de ce triangle, on fait apparaître trois familles de triangles semblables.
Par exemple le cosinus de l'angle A des triangles rectangles semblables et et pour l'angle au centre du triangle d'angle égal à A
,
d'où .
En additionnant avec les deux relations similaires des autres familles de triangles rectangles, on obtient finalement :
.
En ajoutant cette relation à la précédente et en simplifiant par le périmètre (a+b+c), le théorème est démontré :
.
Descartes et les Mathématiques - Relations métriques du triangle
Théorème japonais de Carnot :
Triangle acutangle
Triangle avec exactement un angle obtus
Triangle rectangle