Leitkreise, Leitgeraden ...
... von Kegelschnitten und anderen bizirkularen Quartiken.
Grundeigenschaft:
Spiegelt man einen der Brennpunkte an den doppeltberührenden Kreisen, so liegen
die Spiegelbilder auf einem zugehörigen Leitkreis (oder der zugehörigen Leitgeraden).
Zu jeder Symmetrie gehören doppelt berührende Kreise.
Bizirkulare Quartiken mit 4 verschiedenen konzyklischen Brennpunkten besitzen 4 paarweise orthogonale Symmetriekreise
und entsprechend sind jedem Brennpunkt 4 Leitkreise zugeordnet!
Ist im rechten Applet , so liegt eine Parabel vor. Man kann das daran erkennen, dass der doppelt berührende Kreis
zur Tangente wird.
Sonst erhält man je nach der Lage der Leitgeraden (veränderbar durch Bewegen von L) eine Ellipse oder eine Hyperbel.
Möbiusgeometrisch sind die Tangenten doppelt berührende Kreise: ist der 2.-te Berührpunkt (oder ein Brennpunkt)!
Übrigens: die Leitkreise sind nicht identisch mit den director circles: damit ist die Ortslinie der Punkte gemeint,
in welchen sich die Kegelschnitt-Tangenten orthogonal schneiden. Diese Kurve wird auch als orthoptische Kurve bezeichnet,
bei der Parabel stimmt sie mit der Leitgeraden überein.
Konfokale Ellipsen und Hyperbeln sind orthogonal, ihre Leitkreise bezüglich eines ausgewählten Brennpunkts
sind konzentrisch: der Mittelpunkt ist der andere Brennpunkt!
Dieses Arbeitsblatt ist Teil des Geogebrabooks Kegelschnitt-Werkzeuge Diese Aktivität ist auch eine Seite des geogebrabooks Leitlinien und Brennpunkte
Die oben genannte Grundeigenschaft ist ein möbiusgeometrischer Sachverhalt:
diese Eigenschaft besitzen alle bizirkularen Quartiken, von den in 2 Kreise zerfallenden Quartiken abgesehen.
Kegelschnitte und ihre möbiustransformierten Bilder sind bizirkulare Quartiken.
2-teilige bizirkulare Quartiken besitzen 4 Symmetriekreise und 4 konzyklische Brennpunkte.
Zu jeder Symmetrie existiert eine Schar doppelt-berührender Kreise.
Jede 2-teilige bizirkulare Quartik läßt sich mittels einer geeigneten Möbiustransformation wie oben darstellen.
Für die -achsensymmetrischen doppelt-berührenden Kreise ist die -Achse selber der Leitkreis (bzw. die Leitgerade).
Für die anderen Symmetrieen kann man die Leitkreis-Eigenschaften im obigen Applet erkunden.