Deux arêtes orthogonales d'un tétraèdre
Si deux arêtes sont orthogonales, les paires de hauteurs, issues des deux sommets de chaque arête, sont concourantes et les deux points de concours sont situés sur la perpendiculaire commune à ces arêtes.
Soit ABCD un tétraèdre de base BCD située dans le PlanxOy.
Le sommet A est un point du plan orthogonal à (CD) passant par B.
Les arêtes (AB) et (CD) sont alors orthogonales.
On projette orthogonalement les sommets sur les faces opposées ;
on obtient respectivement les points H, P, Q, R.
Les arêtes (AB) et (CD) sont orthogonales :
les hauteurs (AH) et (BP) sont concourantes en I.
les hauteurs (CQ) et (DR) sont concourantes en J.
Les droites (AP) et (BH) situées dans le plan (ABI) se coupent en A' qui appartient à la droite (CD).
Le plan (CDJ) coupe la droite (AB) au point C’ qui est l'intersection des droites (CR) et (DQ).
Les plans (ABA’) et (CDC’) ont pour intersection la droite (A’C’) qui contient les points I et J.
La droite (A’C’) est donc la perpendiculaire commune à (AB) et (CD), A’C’ est la plus courte distance de ces deux arêtes.
Si les quatre hauteurs sont concourantes, le tétraèdre est dit orthocentrique. Le point concours est alors l'orthocentre.
Explications plus détaillées
Descartes et les Mathématiques : tétraèdre avec GeoGebra 3D
GeoGebraTube : Tétraèdre orthocentrique