Quadrature de l'hexagone par découpage
Motivation
L'objectif de cette feuille de travail est de montrer qu'il est possible et de quelle manière effectuer le découpage d'un hexagone afin d'obtenir un carré de même aire.
D'après le théorème de Bolyai lorsque deux polygone ont la même aire, on peut découper le premier en un nombre fini de polygones et les réarranger en effectuent une translation et une rotation sur chaque morceau du polygone pour former le second polygone.
Ce théorème nous dit qu'il est donc possible de découper un hexagone un plusieurs morceaux afin de les réarranger en un carré de même aire que l'hexagone.
Découpage de l'hexagone
Soit ABCDEF un hexagone régulier. On trace la médiatrice du segment . Soit et . Soit et les milieux respectifs de et . On trace ensuite les segments et . Soit et .
Soit et les milieux respectifs de et . On trace la droite parallèle à passant par et la droite parallèle à passant par . Soit et .On trace la perpendiculaire à passant par et la perpendiculaire à passant par .
Soit et .
On obtient donc le découpage suivant :
Finalement, en déplaçant les différents polygones issues du découpage de l'hexagone, on obtient le carré ci-dessous ayant la même aire que l'hexagone.