vier rakende cirkels
stelling van Descartes
Kan je nu ook nog een vierde cirkel tekenen zodat de vier cirkels elkaar raken? René Descartes besprak het probleem in 1643 in een correspondentie met prinses Elizabeth Stuart.
krommingen i.p.v. stralen
Descartes vindt een rekenkundige gelijkheid waaraan de vier cirkels moeten voldoen. Hij gebruikt in deze formule niet de stralen van de cirkels, maar de krommingen. De kromming van de cirkel is het omgekeerde van de straal. Een cirkel met straal r heeft als kromming k = 1/r. Hoe groter dus de straal van een cirkel, hoe kleiner de kromming en omgekeerd.
De gelijkheid waaraan de krommingen van de cirkels moeten voldoen, noemt men de formule van Descartes
formule van Descartes
Vier cirkels met krommingen k1, k2, k3 en k4 zijn onderling rakend als
k12+k22+k32+k42= 2(k1 + k2 + k3 + k4)²
Een bewijs voor deze formule vind je o.a. op Descartes' circle theorem.
De kromming van een vierde cirkel, rakend aan drie gegeven rakende cirkels, bereken je als:
k4=k1+k2+k3
Er zijn dus in het algemeen twee oplossingen:
- De oplossing met het plusteken geeft de kromming van de cirkel die uitwendig raakt aan de drie gegeven cirkels.
- De oplossing met het minteken geeft de kromming van de ce cirkel die inwendig raakt aan de drie gegeven cirkels.
De buitenste cirkel (inwendig rakend) heeft een negatieve kromming, de binnenste (uitwendig rakend) heeft een positieve kromming. We spreken van een georiënteerde kromming.