Pythagoras 3D

Die räumliche Version des Satzes von Pythagoras

Johannes Faulhaber (1580 - 1635) verdanken wir eine höchst erstaunliche Entdeckung: Der wohlbekannte Satz des Pythagoras besitzt eine Entsprechung im Raum. Im folgenden Applet kann man sich davon überzeugen, dass es in einer Dreieckspyramide eine einfache Beziehung zwischen den Flächeninhalten der 4 Dreiecksseiten gibt. Voraussetzung ist, dass drei der vier Dreiecke rechtwinklig aufeinander stoßen.

Beweis mit den Mitteln der Vektorgeometrie

Mit den Bezeichnungen , und gilt für die Inhalte der drei rechtwinkligen Dreiecke (man könnte sie etwas flpsig als "Kathetendreiecke" bezeichnen): , und . Für das vierte Dreieck ("Hypotenusendreieck") gilt: . Daraus folgt sofort:

Gilt auch die Umkehrung?

Zeige durch Angabe eines Gegenbeispiels, dass die Umkehrung des Satzes im Allgemeinen nicht gilt.

Beweis für den Fall a = b = c

Beweise die Aussage für den Fall "elementar", also ohne Vektorprodukt.

Untersuchungen an verwandten Körpern

Untersuche weitere Dreieckspyramiden, die von mindestens drei rechtwinkligen Dreiecken begrenzt werden, auf ähnliche Zusammenhänge.