E08 Az ellipszis látószöge
Az alábbi feladattal mintegy 10 éve találkoztam először. László István, az Euklides c dinamikus geometriai program szerzője vetette fel azzal, hogy nem talált rá kellően elegáns elemi megoldást. Én sem találtam. Most - úgy hiszem - sikerült.
Szilassi Lajos
A feladat: Mi azon pontok mértani helye a síkban, amelyekből egy ellipszis derékszög alatt látszik?
Sejtés:Adjunk meg egy ellipszist két fókuszával és a kistengelyének az egyik végpontjával. Arra gondolva, hogy ha az ellipszis körré, vagy egy szakasszá fajul, akkor a keresett mértani hely egy kör lesz, könnyen eljuthatunk ahhoz a sejtéshez, hogy a keresett mértani hely általános esetben is kör, mégpedig az ellipszis köré írt bármely téglalap köré irt köre. Sejtésünket megerősítheti ez a
GeoGebra fájl :
Lényegében azt kell belátnunk, hogy egy adott ellipszis bármely köréírt téglalapjának ugyanaz a középpontja, és ugyanakkora az átlója.
Bizonyítás: Az ellipszist a szokásostól kissé eltérő módon most adjuk meg úgy, mint egy k(O,r)
körvonaltól, és e körlap belső F pontjától egyenlő távolságra levő pontok mértani helyét.
Legyen V a k kör egy tetszőleges pontja, P az OV szakasznak F-től és V-től egyenlő távolságra levő pontja. Mivel FP=VP, FP+PO=VO = r, így a P pont az F és O fókuszú r nagytengelyű e
ellipszist írja le, miközben V körbefut k-n. A VF szakasz p felezőmerőlegese az e ellipszis P-be húzott érintője, hiszen pontosan egy közös pontja van e-vel.
Eljárásunkat most alkalmazzuk arra, hogy szerkesszük meg az így kapott ellipszis egy
általános helyzetű köré írt téglalapját, felvéve a k kör két, egymásra merőleges húrját. Az így kapott V1V2V3V4 húrnégyszög oldalfelező pontjai lesznek e téglalap csúcsai.
A téglalap középpontja biztosan egybeesik az ellipszis középpontjával, mivel az ellipszis
egymással párhuzamos érintői egymásnak az ellipszis középpontjára vonatkozó tükörképei.
Így már csak azt kell igazolnunk, hogy bármely így kapott téglalap átlója ugyanakkora.
Ez pedig igaz, mivel a körlap egy F pontjára illeszkedő két egymásra merőleges (fél)húr hosszának a négyzetösszege, így az ellipszis köré írt téglalapok átlójának a hossza nem függ e húrok irányától, csak a k kör sugarától és a d = OF szakasz hosszától:
Ezt kellett igazolnunk.
Megjegyzés: Úgy tűnik, a derékszögtől eltérő látószögű mértani hely (elemi úton) jóval nehezebben határozható meg:
Kissé tovább boncolva az eredeti problémánkat, vizsgáljuk meg, mi azon pontok mértani helye a síkban, ahonnan egy parabola adott szög alatt látszik!
A parabola definíciójából viszonylag könnyen levezethető, hogy éppen a vezéregyenesére illeszkedő pontokból látszik derékszög alatt.
Mi a keresett mértani hely, ha az adott szög nem derékszög? (E mértani hely megszerkesztését önálló feladatként tűzzük ki a szép feladatokra fogékony olvasóink számára.)
Vajon igaz-e, hogy az általános esetben a keresett mértani hely egy hiperbola egyik fele?
Vizsgáljuk tovább a kérdést!
Mi azon pontok mértani helye a síkban, ahonnan egy hiperbola adott szög alatt látszik?
Igaz e- hogy ha az adott szög 90°, akkor a keresett mértani hely ugyancsak egy kör? Próbáljuk ezt is igazolni.
Úgy tűnik, az általános eset hasonlóan kellemetlen mértani hely, mint azt az ellipszisnél láttuk.
Ismét olvasóinkra bízzuk, hogy kíséreljék meg önállóan megszerkeszteni a keresett mértani helyet.
Mint a matematikában a legtöbbször, itt is kínálkozik a térbeli általánosítás lehetősége.
Gaspard Monge (1746-1818), akinek a nevéhez fűződik a két képsíkos ábrázolás néven ismert ábrázoló geometriai módszer, igazolta, hogy azon derékszögű testszögletek csúcsainak a mértani helye, amelyek lapjai érintenek egy másodrendű felületet, gömb.
Ez azt jelenti, hogy ha pl. az ellipszis térbeli analogonjaként kapott ellipszoid ("szappan alakú" mértani test) köré írt bármely téglatest köré írt gömb ugyanaz.
Róla mondta egy kortársa (Lagrange), hogy az analízis geometriai alkalmazásával ez az ördögi elme halhatatlanságot fog szerezi magának.
Manapság már nem gondolnánk, hogy az analízis geometriai alkalmazása ördögi találmány.
A GeoGebra sem az.