Il teorema di Pitagora
Dimostriamo in questo capitolo il celeberrimo teorema di Pitagora con un ragionamento che unisce considerazioni visive a calcoli algebrici (da ripassare: il quadrato di binomio!).
Il Teorema di Pitagora afferma che in qualsiasi triangolo rettangolo l'area del quadrato che ha per lato l'ipotenusa è equivalente alla somma delle aree dei due quadrati che hanno per lato ciascuno dei cateti.
Ricordiamo che l'ipotenusa è il lato OPPOSTO all'angolo retto, mentre i cateti sono i due lati adiacenti ad esso (cioè essi stessi sono i due lati dell'angolo retto).
Il teorema di Pitagora si presenta spesso come mostrato nella figura qui sotto, ed in geometria analitica è molto utile per calcolare la distanza tra due punti qualsiasi (per ripassare vedi qui)
Vediamo ora la dimostrazione. È utile che tu riproduca disegno e calcoli sul tuo quaderno, per renderti conto meglio dei vari passaggi del discorso.
Un ultimo dettaglio
Nella dimostrazione riportata sopra si dà per sottinteso che le figure coinvolte siano regolari, cioè:
- che il quadrilatero che include tutte le altre figure sia davvero un quadrato (e non un rettangolo, un rombo, etc. altrimenti la sua area si calcolerebbe in modo diverso!).
- Stessa cosa per il quadrilatero al centro della costruzione (quello colorato di blu).
- i quattro lati sono tutti congruenti perchè ottenuti sempre dalla somma di un segmento lungo c ed uno lungo b;
- i quattro angoli sono retti perchè appartengono al triangolo di partenza o una delle sue copie.
- Sul fatto che i lati siano congruenti non vi è dubbio, dato che sono le ipotenuse dei quattro triangoli rettangoli;
- Il fatto che il quadrilatero abbia tutti gli angoli retti lo si può dedurre dal ragionamento mostrato nella figura qui sotto, che ovviamente può essere ripetuto per gli altri tre angoli del poligono.
![[math]\large{\textcolor{#007700}{\alpha}+\textcolor{blue}{E\hat{B}C}+\textcolor{#ff7f00}{\beta'} = 180°}[/math].
Dato che [math]\large{\textcolor{#007700}{\alpha}+\textcolor{#ff7f00}{\beta} = 90°}[/math] perché insieme all'angolo retto in [math]\large{A}[/math] devono fare [math]\large{180°}[/math], ne possiamo dedurre che [math]\large{\textcolor{blue}{E\hat{B}C}= 90°}[/math]](https://beta.geogebra.org/resource/h3pq73kd/KN8yoBvrjNCHXSsw/material-h3pq73kd.png)
Abbiamo così dimostrato che il quadrilatero rosso e quello blu sono dei quadrati e che la loro area si calcola effettivamente con le formule utilizzate nella dimostrazione.