Un ponte su Alballara

Due città si trovano sulle sponde opposte di un fiume. Dove conviene costruire un ponte in modo da rendere la strada di collegamento tra le due città più breve possibile?

Indichiamo con i punti A e B le due città. Possiamo anche rappresentare le due sponde del fiume come due rette parallele, r ed s. Il ponte sarà un segmento, perpendicolare alle rette, di estremi M ed N: immaginiamo che M sia un punto di r ed N un punto su s.

Muovi il punto P in verticale per modificare la larghezza del fiume. Cosa succederebbe se il fiume... non esistesse?

Teniamo a mente che il percorso più breve tra due punti è quello in linea retta. Se il fiume non esistesse, il percorso più breve tra le due città, quindi, sarebbe quello lungo il segmento AB. Il percorso di lunghezza minima deve essere lungo quanto il segmento AB sommato alla larghezza del fiume (e quindi del ponte).

• Muovendo il punto P spostiamo la retta s e quindi modifichiamo la larghezza del fiume. Quando il fiume "non esiste" le due rette coincidono e possiamo tracciare AB. Allargando il fiume il punto B si sposta e percorre una distanza uguale alla larghezza del fiume.
• Una traslazione secondo un vettore ortogonale ad r ed s e lungo tanto quanto la distanza tra le due rette trasforma B in B': il segmento AB' coincide con AB nel caso in cui le rette r ed s sono sovrapposte (cioè il fiume non esiste).
• Il punto di intersezione tra AB e la retta r è quello giusto per "spezzare" il segmento e costruire il ponte (il segmento EE').
• Costruiamo E' traslando E di un vettore uguale, ma opposto, al precedente ed otteniamo la spezzata AEE'B che realizza il percorso minimo.