GeoGebra

Kegelschnitt-Werkzeuge

Autor:Walter Füchte
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Jan. 2019: ergänzt um einige weitere Werkzeuge Aktualisiert am 18.02.2018: ein hyperbolischer Gärtner bereitet die hyperbolische Ebene auf den Frühling vor. 24.03.2018: Jetzt gibt es auch Gärten auf der Kugel!

Durch 5 (verschiedene) Punkte in allgemeiner Lage geht genau ein Kegelschnitt: Toolbar Image. Kurze Begründung: 4 der Punkte kann man auf mindestens zwei verschiedene Weisen durch Geraden verbinden (falls keine 3 kollinear sind). und sind 2 verschiedene zerfallende Kegelschnitte, die beide die 4 Punkte enthalten. Durch jeden weiteren Punkt der Ebene geht genau ein Kegelschnitt aus dem Büschel . Dies und viele anderen aufregende Dinge findet man in dem Buch "Geometriekalküle" von J. Gebert-Richter und Th. Orendt (Springer 2009). Weitere nützliche Werkzeuge zum Experimentieren mit Kegelschnitten wären oder sind:
  • 5 Geraden in allgemeiner Lage sind Tangenten eines eindeutig bestimmten Kegelschnitts.
  • Zu 4 Punkten und einer Geraden gibt es in der Regel genau 2 Kegelschnitte durch die Punkte mit der Geraden als Tangente. Dies hat viel mit konfokalen Kegelschnitten zu tun!
  • Dual dazu: 4 Geraden und ein Punkt ...
Eindeutig wird es wieder dann, wenn 4 Punkte und eine Tangente in einem der Punkte vorgegeben sind. Was ist der Grund für die obigen Aussagen über Kegelschnitte? Wie berechnet man die gesuchten Kegelschnitte? Welche Rechenmethoden sind hierzu nützlich? Eigentlich basiert alles auf der p-q-Formel und auf ein wenig Linearer Algebra. Begründungen: kurz ist die Begründung nur mit homogenen Koordinaten und in projektiver Betrachtungsweise! Punkte verwenden wir in homogenen Koordinaten . Verbindungsgeraden berechnen sich mit dem Kreuzprodukt: , Schnittpunkte ebenfalls: . Ein Punkt liegt auf einer Geraden , wenn das Skalarprodukt Null ergibt. Mit diesen Grundlagen läßt sich Geometrisches trefflich kalkulieren (siehe das obengenannte Buch!). Das Büschel von Kegelschnitten durch 4 vorgegebene Punkte erhält man durch die quadratischen Formen , ausgeschrieben mit und dem Skalarprodukt :
Die beiden elementaren quadratischen Formen und zerfallen jeweils in 2 Geraden, die 4 Punkte liegen auf diesen zerfallenden Kegelschnitten. Der Punkt liegt auf einem Kegelschnitt des Büschels, wenn die quadratische Form für Null ergibt. Daraus folgt die Kalkulation für und :
  • und .
Diese ´s werden manchmal als die Plückerschen 's bezeichnet: J. Plücker (1801 - 1868) hat die herausragende Bedeutung der Determinanten und Unterdeterminanten für geometrisches Kalkulieren herausgearbeitet. In GeToolbar ImageGebra erscheint uns das Werkzeug, um solche geometrischen Kalkulationen durchzuführen, (noch?) etwas lückenhaft: Einzelne Punkte müssen in homogenen Koordinaten dargestellt werden, Geraden müssen ebenfalls in homogene Koordinaten umgewandelt werden. Um die Determinante von 3 Vektoren auszurechnen, muss man etwas mühsam aus diesen eine Matrix erstellen, dabei ist die Determinante von Vektoren direkt berechnen zu können in der Linearen Algebra wie in der Geometrie häufig nützlich. Hinderlich ist auch ein wenig die Inkonsistenz zwischen Vektoren und Listen.

Dieses Arbeitsblatt ist Teil des Geogebrabooks Kegelschnitt-Werkzeuge

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