Valor Absoluto (e inecuaciones)
- Autor:
- JLF
- Tema:
- Inecuaciones
1. Concepto
El valor absoluto de un número es el valor numérico del número (sin signo, que es lo mismo que con signo positivo).
El valor absoluto del número a se representa por |a|.
Ejemplos:
- |-1| = 1
- |-2| = 2
- |0| = 0
- |1| = 1
- |4,5| = 4,5
- |-0,3| = 0,3
- si el número es positivo, su valor absoluto es el propio número;
- si el número es negativo, su valor absoluto es su opuesto (número con signo opuesto, es decir, con signo positivo);
- si el número es 0, su valor absoluto es 0, aunque 0 no es ni positivo ni negativo.
2. Función Valor Absoluto
Matemáticamente, el valor absoluto es una función (de una variable) de los reales en los reales:
Podemos escribirla como una función a trozos:
La función es continua en los reales y derivable en los reales excepto en 0.
La gráfica de esta función es:
Podemos escribirla como una función a trozos:
La función es continua en los reales y derivable en los reales excepto en 0.
La gráfica de esta función es:
3. Propiedades
- El valor absoluto siempre es mayor o igual que 0, siendo 0 sólo cuando su argumento es 0:
- El valor absoluto de un producto es el producto de los valores absolutos de los factores:
- Valor Absoluto de la suma:
- Propiedad importante: si tenemos la desigualdad (menor o igual)
podemos escribir
que es lo mismo que decir
(tienen que cumplirse ambas relaciones).
Dicho en forma de intervalos:
Si la desigualdad es (mayor o igual)
podemos escribir
(es una unión: tiene que cumplirse una de las dos).
Dicho en forma de intervalos:
4. Ejemplos de Inecuaciones con Valor Absoluto
Vamos a resolver algunas inecuaciones con valor absoluto. Para ello usaremos la última propiedad del apartado anterior:
Ejemplo 1
Podemos escribir la inecuación como
Tenemos que resolver las dos inecuaciones.
Podemos hacerlo al mismo tiempo:
Sumamos 1:
O bien, separar ambas inecuaciones y resolverlas por separado:
De ambas formas obtenemos la misma solución:
Ejemplo 2
Debe cumplirse alguna de los dos inecuaciones:
Resolvemos la primera:
Resolvemos la segunda:
Por tanto, la solución es:
Ejemplo 3
Tenemos las dos inecuaciones:
Resolvemos la primera:
No podemos multiplicar por x porque no sabemos si es positiva o negativa.Supongamos que x es positiva ( x > 0): ahora sí podemos multiplicar por x :
Por tanto, cambiando la desigualdad al dividir por el negativo -2, tenemos
Pero hemos dicho que x > 0, luego al unir ambas condiciones tenemos que
(ya que es la más restrictiva).Supongamos ahora que x es negativa: x < 0:
Por tanto, la solución a esta primera inecuación es
Resolvemos la segunda inecuación procediendo del mismo modo:
Si x es positiva:
Si x es negativa:
Por tanto, la solución a la segunda inecuación es:
Las soluciones de las dos inecuaciones son:
Y tienen que cumplirse ambas.
Por tanto, la solución es
Podemos escribir la inecuación como
Tenemos que resolver las dos inecuaciones.
Podemos hacerlo al mismo tiempo:
Sumamos 1:
O bien, separar ambas inecuaciones y resolverlas por separado:
De ambas formas obtenemos la misma solución:
Ejemplo 2
Debe cumplirse alguna de los dos inecuaciones:
Resolvemos la primera:
Resolvemos la segunda:
Por tanto, la solución es:
Ejemplo 3
Tenemos las dos inecuaciones:
Resolvemos la primera:
No podemos multiplicar por x porque no sabemos si es positiva o negativa.Supongamos que x es positiva ( x > 0): ahora sí podemos multiplicar por x :
Por tanto, cambiando la desigualdad al dividir por el negativo -2, tenemos
Pero hemos dicho que x > 0, luego al unir ambas condiciones tenemos que
(ya que es la más restrictiva).Supongamos ahora que x es negativa: x < 0:
Por tanto, la solución a esta primera inecuación es
Resolvemos la segunda inecuación procediendo del mismo modo:
Si x es positiva:
Si x es negativa:
Por tanto, la solución a la segunda inecuación es:
Las soluciones de las dos inecuaciones son:
Y tienen que cumplirse ambas.
Por tanto, la solución es