Operaciones entre matrices
VECTORES Los vectores son matrices de un renglón ó una columna. SUMA DE MATRICES La suma de dos matrices y ambas de tamaño x, es la matriz de tamaño x dada por la suma de elemento a elemento. Por ejemplo:
La matriz se obtiene sumando los componentes correspondientes de las matrices y . NOTA: solo se pueden sumar matrices del mismo tamaño.
MULTIPLICACIÓN DE MATRICES
Producto de dos vectores Sean a y b dos n-vectores (matrices de n elementos en una sola fila o columna), de forma que y , su producto escalar de y denotado por está dado por El producto escalar se conoce también como producto punto (por el operador) o producto interno y su resultado es un escalar (no un vector). Nota: para efectuar el producto escalar es necesario que los vectores tengan el mismo tamaño. Ejemplo: Un fabricante elabora 5 tipos diferentes de perfume con ventas mensuales de cada versión dadas por el vector y con precios unitarios dados en el vector , el total de ingresos por las ventas de los perfumes en el mes se obtiene multiplicando la cantidad vendida por el precio unitario, v por p , y sumando cada producto: Total Con frecuencia el producto escalar se efectúa entre un vector renglón y un vector columna.
PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR Sean , y tres -vectores y un escalar 1. ( 0 es el n-vector 0n ) 2. (propiedad conmutativa) 3. a (propiedad distributiva) 4. PRODUCTO DE DOS MATRICES Sean dos matrices de tamaño x y de tamaño x. Entonces el producto de las matrices y , denotado por es una matriz de tamaño x de donde = producto del renglón de por la columna de . (producto escalar)
Por ejemplo.PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES 1. Sean las matrices x , xy x entonces (propiedad asociativa) 2. Suponiendo que todas las sumas y todos los productos están definidos, entonces y (propiedad distributiva) 3. Sea la matriz x e , matrices unidad de tamaño y respectivamente, entonces . Nota: la matriz unidad , se conoce también como matriz identidad. Es una matriz cuadrada (tamaño x), cuyos elementos de la diagonal principal son todos iguales a 1, y los demás elementos son ceros.