Operaciones entre matrices

Egilea:Hector

VECTORES Los vectores son matrices de un renglón ó una columna. SUMA DE MATRICES La suma de dos matrices y ambas de tamaño x, es la matriz de tamaño x dada por la suma de elemento a elemento. Por ejemplo:

La matriz se obtiene sumando los componentes correspondientes de las matrices y . NOTA: solo se pueden sumar matrices del mismo tamaño.

MULTIPLICACIÓN DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR Si multiplicamos una matriz

de tamaño

por un escalar

tenemos como resultado una matriz

de tamaño

. Por ejemplo.

PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES Y DEL PRODUCTO DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR. Sean

matrices de tamaño

escalares. 1. CONMUTATIVA:

;

2. ASOCIATIVA:

;

3. DISTRIBUTIVA:

;

. 4. ELEMENTO NEUTRO:

(matriz cero:

); 1A = A. 5.

;

. INVERSO ADITIVO Y SUSTRACCIÓN DE MATRICES Una matriz

de tamaño

tiene una matriz opuesta

que se obtiene multiplicando cada elemento de

por el escalar

. La sustracción de las matrices

, está determinada como la suma de la matriz

y la matriz opuesta (inverso aditivo) de

Por ejemplo:

MULTIPLICACIÓN DE MATRICES

Producto de dos vectores Sean a y b dos n-vectores (matrices de n elementos en una sola fila o columna), de forma que y , su producto escalar de y denotado por está dado por El producto escalar se conoce también como producto punto (por el operador) o producto interno y su resultado es un escalar (no un vector). Nota: para efectuar el producto escalar es necesario que los vectores tengan el mismo tamaño. Ejemplo: Un fabricante elabora 5 tipos diferentes de perfume con ventas mensuales de cada versión dadas por el vector y con precios unitarios dados en el vector , el total de ingresos por las ventas de los perfumes en el mes se obtiene multiplicando la cantidad vendida por el precio unitario, v por p , y sumando cada producto: Total Con frecuencia el producto escalar se efectúa entre un vector renglón y un vector columna.

PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR Sean , y tres -vectores y un escalar 1. ( 0 es el n-vector 0n ) 2. (propiedad conmutativa) 3. a (propiedad distributiva) 4. PRODUCTO DE DOS MATRICES Sean dos matrices de tamaño x y de tamaño x. Entonces el producto de las matrices y , denotado por es una matriz de tamaño x de donde = producto del renglón de por la columna de . (producto escalar)

Por ejemplo.

PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES 1. Sean las matrices x , xy x entonces (propiedad asociativa) 2. Suponiendo que todas las sumas y todos los productos están definidos, entonces y (propiedad distributiva) 3. Sea la matriz x e , matrices unidad de tamaño y respectivamente, entonces . Nota: la matriz unidad , se conoce también como matriz identidad. Es una matriz cuadrada (tamaño x), cuyos elementos de la diagonal principal son todos iguales a 1, y los demás elementos son ceros.

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